Qué son todos los pares ordenados $(n,m)$ tales que los grupos multiplicativos de los campos $\mathbb{Q}(\sqrt{n})$ y $\mathbb{Q}(\sqrt{m})$ son isomorfas?
Hoy he visto una pregunta en la que se afirmaba que $(3,7)$ es uno de esos pares (aunque no estoy seguro de que sea cierto), y me interesa generalizarlo.
El grupo multiplicativo $\Bbb Q(\sqrt d)^*$ es abstractamente isomorfo a $U \times \bigoplus_\omega \Bbb Z$ où $U$ es el subgrupo de torsión de $\Bbb Q(\sqrt d)^*$ lo que significa que es la raíz de la unidad en $\Bbb Q(\sqrt d)^*$ .
$\Bbb Q(\sqrt{-1})^*$ y $\Bbb Q(\sqrt{-3})^*$ ambos tienen $U$ mayor que $\{-1;+1\}$ por lo que esos dos son casos especiales y no son isomorfos a nadie más que a sí mismos. Para cualquier otro campo cuadrático, $U = \{-1;+1\}$ y por tanto $\Bbb Q(\sqrt d)^*$ son todas abstractamente isomorfas entre sí.
Por ejemplo, con $m,n<0$ si en ambos casos los anillos de enteros son PID, y si los campos no contienen raíces de la unidad más allá de $\pm 1$ entonces los grupos multiplicativos son grupos libres sobre primos-mod-unidades, con $\pm 1$ tirado. Es decir, en algunos casos la respuesta puede ser "sí, pero por razones aburridas". Para $m,n>0$ el grupo de unidades mod $\pm 1$ en el anillo de los enteros algebraicos es $\mathbb Z$ por Dirichlet, sin diferenciación en función de $m,n$ .
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