No hay ninguna función que sea continua en todos los puntos racionales y discontinua en los puntos irracionales.

Question

Posible duplicado:
Conjunto de puntos de continuidad de una función real

Creo que he visto en algún sitio (pero no estoy seguro) que no hay ninguna función $g$ en $[0,1]$ que es continua en todos los puntos racionales y discontinua en todos los puntos irracionales. Por favor, ¿es esto cierto? Si es así, ¿cómo puedo demostrarlo? Gracias.

Answer 1

Sí, lo que recuerdas es cierto.
El conjunto de discontinuidades de $g$ es un $F_\sigma$ una unión denumerable de subconjuntos cerrados de $[0,1]$ y los irracionales no son tal unión debido al teorema de Baire.

Editar
Permítanme mostrar en detalle (como respuesta a la pregunta de Linda en los comentarios) por qué $[0,1]\setminus \mathbb Q$ no es una unión $\bigcup F_n$ de un número contable de subconjuntos cerrados $F_n\subset [0,1]$ .
En primer lugar, hay que tener en cuenta que cada $F_n$ tendría el interior vacío ya que de lo contrario contendría algunos números racionales.
Por otro lado $[0,1]\cap \mathbb Q=\bigcup G_n$ con $G_n=\lbrace q_n\rbrace $ con el $q_n$ alguna enumeración de $\mathbb Q$ .
Así que tendríamos una presentación $[0,1]=(\bigcup F_n)\bigcup (\bigcup G_n)$ del espacio métrico completo $[0,1] $ como una unión denumable de conjuntos cerrados sin interior. El teorema de Baire dice que esto es imposible.