Si $f$ es una función entera con la propiedad de que $|f(z)|\to\infty$ como $|z|\to\infty$ verifique que $f(\mathbb{C})=\mathbb{C}$ .
Este es un problema de mi libro de texto. Y supongo que se debe aplicar el Teorema de Rouché, pero no sé cómo.
Respuestas
¿Demasiados anuncios?
He aquí una forma de verlo. En $z\to\infty$ , $\frac{1}{z}\to 0$ . El carácter de la singularidad de una función en el infinito viene dado por la sustitución de $z$ por $\frac{1}{w}$ en su serie de Taylor y examinando el comportamiento como $w\to 0$ . Si $f\in \mathcal{H}(\mathbb{C})$ está entero y tiene $\lim_{z\to\infty} \lvert f(z)\rvert=\infty$ estudie la serie de Taylor en $0$ $$ f(z)=\sum_{k=0}^\infty a_k z^k.$$ En el infinito, la serie de Laurent se parece a $$ f(w)=\sum_{k=0}^\infty a_k w^{-k}. $$ Si hubiera infinitos términos, entonces $f(w)$ tendría una singularidad esencial en $w$ y $f(z)$ tendría una singularidad esencial en $\infty$ . Pero el $\lvert f(z)\rvert$ no convergería como $z\to\infty$ . Así que.., $a_k=0$ para $k\ge M$ . Esto implica que $f(z)$ es un polinomio.
¿Puede llegar a una conclusión utilizando el Teorema de Rouché?
user10354138
Puntos
1302
Desde $f(z)\to\infty$ como $z\to\infty$ tenemos $\inf\{\lvert f(z)\rvert:\lvert z\rvert=R\}\to\infty$ como $R\to\infty$ . Por Rouché, $f(z)$ y $f(z)-a$ tiene el mismo número (finito por principio de identidad) de raíces dentro de $B_R(0)$ para $\lvert a\rvert<\inf\{\lvert f(z)\rvert:\lvert z\rvert=R\}$ . Utilícelo en dos pasos, primero para $a=f(0)$ y $R$ suficientemente grande para concluir $0\in f(\mathbb{C})$ a continuación, utilizando un $R$ para otros $a$ 's.
