Probabilidad condicional (El poroblema de la galleta)

Question

Caballeros, Tengo una pequeña confusión en encontrar la probabilidad dondicional en el "Problema de las Galletas" que se describe a continuación:

Supongamos que hay dos cuencos llenos de galletas. El bol nº 1 tiene 10 galletas con pepitas de chocolate y 30 galletas normales, mientras que el bol nº 2 tiene 20 de cada. Nuestro amigo Fred elige un bol al azar y luego elige una galleta al azar.

Si pregunto, ¿cuál es la probabilidad de que Fred elija una galleta normal dado el Bol 1?

La gente dice que la respuesta correcta es directa:

$ P(\text{Plain|Bowl1}) = \frac{30}{40}= \frac{3}{4} $

Pero estoy confundido, ¿por qué no invocar la probabilidad de elegir Bowl 1? Quiero decir, ¿por qué no usamos lo siguiente:

$ P(\text{Plain|Bowl1}) = \frac{30}{40}\frac{1}{2}= \frac{3}{8} $

por favor, aclárelo, muchas gracias,

Answer 1

Cuando decimos que algo está "dado", podemos afirmar que ya lo hemos observado. En este caso, ya hemos observado que eliges el bol 1, así que no necesitamos considerar la probabilidad de que lo elijas. Así que si te pregunto cuál es la probabilidad de que saques la galleta DADO que tienes que sacar del bol 1, entonces básicamente estás actuando como si el bol 2 no existiera.

Podrías demostrarlo con la regla de Bayes, pero no es necesario.

Answer 2

Intuitivamente: Es la probabilidad de elegir la galleta dado que era el bol uno. No se incluye la probabilidad de elegir ese tazón porque era dado que fue elegido.

Answer 3

Compara las preguntas:

1) ¿Cuál es la probabilidad de una galleta normal dado el bol 1 (ya está elegido)? $$P(P|B1)=\frac{30}{40}=\frac34.$$ 2) ¿Cuál es la probabilidad de elegir el bol 1 y una galleta normal? $$P(B1\cap P)=P(B1)\cdot P(P|B1)=\frac12\cdot \frac{30}{40}=\frac38.$$ 3) Dada la elección de una galleta normal, ¿cuál es la probabilidad de que haya salido del bol 1? $$P(B1|P)=\frac{P(B1\cap P)}{P(B1\cap P)+P(B2\cap P)}=\frac{3/8}{3/8+2/8}=\frac35.$$

Answer 4

No nos importa CÓMO eligió el bol $1$ .

Sólo sabemos que ya está eligiendo de tazón $1$ Ahora sólo nos centramos en las galletas.

La probabilidad es $\displaystyle \frac{30}{40}$ .