¿Puedo hacerlo como $x\to\infty$ ?

Question

Tengo estas dos funciones sobre real $x>0$ (con $a,b$ constantes reales finitas) $$ g(x,a)=\frac a x \cos x+x-15\sin x \qquad (1) $$ $$ g(x,b)=\frac b x \cos x+x-15\sin x \qquad (2)$$

Quiero evaluar estas funciones como $x\to\infty\;$ ¿tengo razón en que en este límite, las funciones $(1)$ y $(2)$ se comportan de manera similar (independientemente de $a$ y $b$ ) como sigue? $$ g(x,a)\approx g(x,b)\approx g(x)\approx x-15\sin x+\mathcal{O}(\frac 1x) $$

Answer 1

Asintóticamente, si tienes una suma de términos monotónicos acotados y no acotados, puedes ignorar todos los términos acotados. Se tiene $|15 \sin x|\leq 15$ Por lo tanto, sumar o restar un número en este rango tendrá un impacto cada vez menor en algo que crece hasta el infinito, y el impacto en términos de ratio será 0.