Sea $f(z)$ sea analítica en el disco unitario,

Question

Sea $f(z)$ sea analítica en el disco unitario, $Rf(z) \ge 1$ y $f(0)>0$ . Demuestre que $$f(0) \cdot \frac{1-|z|}{1+|z|} \le |f(z)| \le f(0) \cdot \frac{1+|z|}{1-|z|} \quad z \in D $$

Esto parece algo que tendría que probar utilizando casos. Me cansé de tirar algunos números allí para ver lo que estaba pasando, pero todavía no estoy viendo cómo probar esto. Creo que me estoy perdiendo u olvidando un concepto a utilizar.

He intentado el lema de Schwartz como se sugiere a continuación y he supuesto que $f(0)=1$ No estoy seguro de que este sea el camino correcto.

Answer 1

La fracción lineal $g(w)=\frac{1-w}{1+w}$ mapea el semiplano derecho al disco unitario tal que $g(1)=0$ .

Aplicando el lema de Schwarz a la función $w\mapsto g(f(w))$ tenemos $|g(f(z))|\le |z|$ .

La función $g^{-1}(w)=\frac{1-w}{1+w}$ mapea el disco $|w|\le|z|$ al disco cerrado de diámetro $\left(\frac{1-|z|}{1+|z|},\frac{1+|z|}{1-|z|}\right)$ Así que $f(z)=g^{-1}(g(f(z))$ yace en ese disco.

Obviamente, el disco se encuentra en $\frac{1-|z|}{1+|z|}\le|w|\le \frac{1+|z|}{1-|z|}$ .