Tengo un círculo que está descentrado, pero quiero averiguar el área de la parte del círculo en la región x e y positivas. No estoy seguro de cómo hacerlo debido a las múltiples variables involucradas.
Respuesta
¿Demasiados anuncios?
theog
Puntos
585
Aquí tienes una foto. El área que quieres es la suma de las áreas coloreadas.
Que el círculo esté centrado en $C = (c_x, c_y)$ con radio $r$ . Utilizando el teorema de Pitágoras, es fácil encontrar las coordenadas de $A$ y $B$ y a partir de ahí las áreas de los triángulos $OAC$ y $OBC$ . Para el sector ecológico $CAB$ llamemos a los dos ángulos marcados $\theta_1$ y $\theta_2$ ; estos satisfacen $r\sin\theta_1 = c_x$ y $r\sin\theta_2 = c_y$ respectivamente. El área del sector es entonces $\frac12(\theta_1 + \pi/2 + \theta_2)r^2$ .
@Henning: Al hacer este diagrama, me pareció que esta disección era más fácil de analizar que dividir el área en un segmento $AB$ y triángulo $OAB$ ya que sólo se puede hallar el área del segmento hallando primero el área del segmento sector y restando el área del triángulo $CAB$ .
P.D. Esto seguirá funcionando si $c_x$ y/o $c_y$ son negativas, ya que las áreas de los triángulos correspondientes simplemente se volverán negativas y se restarán del área del sector, dando al final la respuesta correcta. Sin embargo no funcionan si el origen $O$ se encuentra fuera del propio círculo. Si tienes que considerar este caso, tendrás que tener más cuidado, pero un enfoque similar debería funcionar.
