Medida invariante de traslación finitamente aditiva en $\mathcal P(\mathbb R)$

Question

Sabemos que una medida invariante de traslación contablemente aditiva con $\mu([0,1]) = 1$ no puede definirse en el conjunto de potencias de $\mathbb R$ . Esto se debe a que $[0,1]$ puede dividirse en un número contable de conjuntos congruentes, con la ayuda del axioma de elección.

Pero me preguntaba si un finitamente aditivo medida con estas propiedades sería posible? Sé que no sería posible para la dimensión $n>2$ debido a la paradoja de Banach-Tarski, pero tengo curiosidad sobre $n=1$ . Si tal medida puede construirse sobre $\mathcal P(\mathbb R)$ ¿sería único?

Answer 1

Banach-Tarski plantea un problema para la existencia de medidas que sean invariantes bajo todos los movimientos rígidos, no sólo la traslación. La existencia de medidas finitamente aditivas invariantes por traslación que concuerden con la medida de Lebesgue en conjuntos medibles por Lebesgue es una consecuencia del teorema de Hahn-Banach. Se trata del ejercicio 21 del capítulo 10 de la obra de Royden Análisis real . Las extensiones dadas por Hahn-Banach no parecen tener propiedades de unicidad, así que dudo que esta medida sea única.

Answer 2

En n=1 existe, pero dista mucho de ser único. Esto está en Hewitt y Stromberg. Creo que muestran que hay 2^c extensión diferente.

Answer 3

La pregunta debe formularse en el siguiente contexto: Sea un subgrupo $G$ de todas las isometrías de $\mathbb{R}^n$ actuar en el espacio $\mathbb{R}^n$ . Cuando existe una $G$ -medida invariante $\mu$ definido en todos los subconjuntos de $\mathbb{R}^n$ y normalizando el cubo unitario?

Parece que tal medida existe en $\mathbb{R}^n$ si el grupo $G$ es susceptible (esto funciona también en dimensiones superiores a pesar de la paradoja de Banach-Tarski). Esto se deduce de un teorema general de Mycielski sobre las medidas en las álgebras booleanas (como se ha mencionado anteriormente, también existe una prueba alternativa a través del teorema de Hahn-Banach). Las medidas $\mu$ construidas de este modo no son únicas. Sin embargo, existe una modificación de un teorema demostrado por Tarski que dice que existe una función de conjunto $f$ (llamada medida absoluta de Tarski) definida en una subclase $\mathcal{A}$ de todos los subconjuntos acotados de $\mathbb{R}$ que alcanza los valores comunes para todas las medidas construidas por Mycielski (es decir, la clase $\mathcal{A}$ se define como $\mathcal{A} = \{X \in \mathbb{R}^n: \mu_1(X) = \mu_2(X)$ donde $\mu_1$ y $\mu_2$ son dos medidas cualesquiera obtenidas mediante el teorema de Mycielski $\}$ .