Consideremos los functores $F,G:J\to Cat$ que admiten colímites y $\eta:F\to G$ una transformación natural tal que $\forall i\in J$ $\eta_i:F(i)\to G(i)$ es una equivalencia de categorías. ¿Es cierto que entonces el mapa inducido de colim $_JF$ a colim $_JG$ es una equivalencia de categorías ?
Respuesta
¿Demasiados anuncios?
He aquí un ejemplo de pushout en $\textbf{Grpd}$ (o $\textbf{Cat}$ - no hay diferencia con respecto a los colímites) que no sea invariante de equivalencia.
Consideremos la inclusión del groupoide discreto $\{ 0, 1 \}$ en el "intervalo" $\mathbf{I} = \{ 0 \cong 1 \}$ que es el groupoide con dos objetos y un morfismo único entre dos objetos cualesquiera. Sea $\mathbf{S}$ sea el groupoide con dos objetos $0$ y $1$ con $\textrm{Hom}_\mathbf{S} (x, y) = \mathbb{Z}$ para cualquier objeto $x$ y $y$ en $\mathbf{S}$ y composición dada por suma de enteros. Entonces tenemos el siguiente cuadrado pushout en $\textbf{Grpd}$ : $$\require{AMScd} \begin{CD} \{ 0, 1 \} @>>> \mathbf{I} \\ @VVV @VVV \\ \mathbf{I} @>>> \mathbf{S} \end{CD}$$ (Por cierto, lo anterior también es un cuadrado pushout bicategórico).
Por otro lado, $\mathbf{I}$ es equivalente al "punto" $\{ \bullet \}$ y el siguiente es también un cuadrado pushout en $\textbf{Grpd}$ : $$\begin{CD} \{ 0, 1 \} @>>> \{ \bullet \} \\ @VVV @VVV \\ \{ \bullet \} @>>> \{ \bullet \} \end{CD}$$ Todavía, $\mathbf{S}$ no es equivalente a $\{ \bullet \}$ . Esto demuestra que los pushouts no son invariantes de equivalencia.
(La "razón" es que el segundo cuadrado es no un cuadrado pushout bicategórico. El pushout bicategórico de $\{ \bullet \} \leftarrow \{ 0, 1 \} \rightarrow \{ \bullet \}$ "es" $\mathbf{S}$ o si se insiste en un modelo que haga el diagrama estrictamente conmutable, el groupoide de un objeto $\mathbf{B} \mathbb{Z}$ con $\mathbb{Z}$ como el grupo de automorfismos del objeto único. Por supuesto, $\mathbf{B} \mathbb{Z}$ es equivalente a $\mathbf{S}$ .)
