Dados dos números reales positivos distintos, ¿cómo puedo utilizar estos dos números (y sus combinaciones lineales enteras distintas de cero) para construir una sucesión que converja a cero? La sucesión sólo puede ser de los dos números positivos originales, o de sus combinaciones lineales enteras distintas de cero.
Respuestas
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Supongamos que $0\lt x=x_0\le y=y_0$ son los dos números reales. Defina
$$x_{n+1}=\min(x_n,y_n-x_n)\quad\text{and}\quad y_{n+1}=\max(x_n,y_n-x_n)$$
En $x_n$ (para $n\gt0$ ) es una secuencia de combinaciones lineales enteras no nulas de $x_0$ y $y_0$ . No es difícil demostrar que converge a $0$ las desigualdades
$$0\le x_{n+1}\le x_n\le y_n\le y_{n-1}$$
implican que cada secuencia, siendo no negativa y no creciente, tiene un límite, digamos $x_n\to L$ y $y_n\to M$ con $0\le L\le M$ En ese momento $M=\max(L,M-L)$ implica $L=0$ .
Observación (añadida posteriormente): Esta construcción se puede considerar como el algoritmo euclidiano ejecutado a cámara lenta insoportable: se gana simplicidad de descripción a expensas de la velocidad de convergencia.
user3035
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Leí mal la pregunta y pensé que el autor sólo quería demostrar que la secuencia existe. Aún así, voy a dejar la respuesta aquí, ya que no es totalmente trivial de mostrar.
Llame a los dos números $a$ y $b$ . Sea $c = \inf\{r: r > 0, r = ka + lb$ para algunos números enteros $k$ y $l\}$ . Basta con demostrar que $c = 0$ . Supongamos que $c$ no fueran cero; llegaremos a una contradicción.
Si hubiera distintos $k_n a + l_n b$ disminuyendo a $c$ entonces $(k_{n+1} - k_n)a + (l_{n+1} - l_n)b$ disminuiría hasta cero a medida que $n$ va a infinito, lo que implica $c = 0$ una contradicción. Así que podemos suponer que no hay distintos $k_n a + l_n b$ disminuyendo a $c$ . En otras palabras, hay algunos $k$ y $l$ tal que $ka + lb = c$ .
A continuación, observe que si hubiera $k'$ y $l'$ tal que $k'a + l'b$ no fueran un múltiplo entero de $c$ entonces $mc < k'a + l'b < (m+1)c$ para algún número entero $m$ de modo que $0 < (k' - mk)a + (l' - ml)b < c$ contradiciendo la minimalidad de $c$ .
Así que todos $k'a + l'b$ son múltiplos enteros de $c$ . En particular $a$ y $b$ son múltiplos enteros de $c$ que significa $a$ y $b$ son múltiplos racionales entre sí. Escribir $a = {m \over n} b$ para números enteros $m$ y $n$ entonces $na - mb = 0$ . Esto implica $c =0$ una contradicción y hemos terminado.
Andrew
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Ok, supongamos que podemos usar la función floor y podemos comparar números. lo que hacemos es más o menos el algoritmo euclidiano. empecemos con $a > b$ y que $x_1 := a$ , $x_2 := b$ . asume $x_1, \ldots, x_n$ ya están definidas y la secuencia es estrictamente decreciente y positiva. si en cualquier punto obtenemos $x_n = 0$ nos detenemos (es el caso si $a$ y $b$ son proporcionales), así que vamos a suponer que esto no sucede. vamos ahora a $$x_{n+1} := x_{n-1} - [\frac{x_{n-1}}{x_n}]x_n$$ $x_{n+1}$ es una combinación entera de $a$ y $b$ si todos los $x_n$ Además $x_{n+1} < x_n$ porque $$x_{n+1} - x_n = x_{n-1} - ([\frac{x_{n-1}}{x_n}] + 1 )x_n < 0$$ desde $([\frac{x_{n-1}}{x_n}] + 1 )> \frac{x_{n-1}}{x_n}$ . se trata de una sucesión decreciente y acotada, por lo que tiene un punto límite $g$ . si es $0$ entonces hemos terminado, así que vamos a suponer $g>0$ . la función suelo es continua por la derecha (continua por la derecha, es decir, continua en $y$ cuando se considera en un intervalo $[y, y+\epsilon)$ . ya que nuestra secuencia es decreciente eso es todo lo que necesitamos - podemos enchufar $g$ en la definición de recurrencia que da $$g = g - [\frac{g}{g}]g = 0$$ y ya está.
editar: oh, ver que las combinaciones nunca son $0$ observe que si $a$ y $b$ no son proporcionales sobre $\mathbb{Q}$ (el único caso que debemos considerar) esto nunca puede ocurrir ya que si $x_{n-1}$ y $x_n$ son combinaciones enteras de $a$ y $b$ y $x_{n+1} = 0$ entonces esto significa $[ \frac{x_{n-1}}{x_n}] = \frac{x_{n-1}}{x_n}$ así que $\frac{x_{n-1}}{x_n} \in \mathbb{Z}$ . dejar $x_{n-1} = ka + mb$ , $x_n = ja + nb$ entonces $ka + mb = l(ja + nb)$ donde todos $k, m, j, n, l$ son números enteros. Esto significa que $a$ y $b$ son proporcionales sobre $\mathbb{Q}$ Así que hemos terminado.
