Un subconjunto de $\ell^2$

Question

Quiero demostrar que $A=\{(x^{(n)})\in \ell^2:|x_m^{(n)}|\leq \frac{1}{m}\}$ es un subconjunto completo y convexo de $\ell^2$ con el interior vacío.

No es difícil demostrar que $A$ es convexa. También podría demostrar que $A$ está cerrado en $\ell^2$ . Desde $\ell^2$ es un espacio de Banach, por lo tanto, $A$ está completo. Pero, ¿cómo demostrar que $ A^{0}=\emptyset $ ?

Answer 1

Se puede demostrar que para todo $x = (x_n) \in A$ para todos $\epsilon >0$ hay $y\notin A$ y $d(x, y) <\epsilon$ . Sea $m \in \mathbb N$ para que $\frac{3}{m}<\epsilon$ . Defina $y = (y_n)$ donde

$$y_n = \begin{cases} x_n &\text{if } n\neq m \\ 2/m &\text{if }m=n.\end{cases}$$

Entonces $y\in \ell^2$ y $y\notin A$ . También $d(x, y) \le |2/m - x_m| \le 3/m <\epsilon$ como $|x_m|\le 1/m$ .

Lo anterior implica, en particular, que $A^0 = \emptyset$ .

De hecho, se puede demostrar que $A$ es compacta y homeomorfa a $[0,1]^\mathbb{N}$ .