Integral doble relacionada con la integral gaussiana.

Question

Sabemos que $\int_{-\infty}^{\infty} e^{-x^2}dx=\sqrt{\pi}.$
¿Cómo puede evaluar $\int_{-\infty}^{\infty} \int_{-\infty}^{\infty} e^{-(x^2+y^2+xy)}dxdy= ?$
¿Existen trucos estándar para integrales relacionadas con la integral gaussiana?

Answer 1

La matriz $A:=\pmatrix{1&\frac12\\\frac12&1}$ es positiva definida con raíz cuadrada $$A^{\frac12} = \frac14 \pmatrix{\sqrt 2 + \sqrt 6 & -\sqrt2 + \sqrt 6\\ -\sqrt 2 + \sqrt 6 & \sqrt 2 + \sqrt 6}$$ Y su integral con $x := \pmatrix{x_1\\x_2}$ es $$\int_{\mathbb R^2} e^{-x^T A x} \ \mathrm dx$$ Ahora sustituye $u = A^{\frac12} x$ y utilizar una integral conocida.
Observación: $\det A^{\frac12} = \sqrt{\det A} = \frac{\sqrt 3}2$ .

Answer 2

Sugerencia

¿Y si escribimos primero? $$x^2+x\,y+y^2=\big(x+\frac y2\big)^2+\frac 34 y^ 2$$ Así que.., $$\int e^{-(x^2+xy+y^2)}\,dx=e^{-\frac 34 y^ 2}\int e^{-(x+\frac y2)^2}\,dx=e^{-\frac 34 y^ 2}\int e^{-z^2}\,dz$$ Utilizar los límites y lo conocido $\int_{-\infty}^{\infty} e^{-z^2}\,dz=\sqrt{\pi}$ para continuar.

Estoy seguro de que usted puede tomar de aquí.