¿La definición de grupo fundamental supone implícitamente el Axioma de Elección?

Question

Bueno, estoy un poco de niebla alrededor del axioma de elección, por lo que ayudarme a salir de aquí.

El estándar de la forma en que el grupo fundamental de la conexión de un espacio de $X$ está definida de la siguiente manera. Considerar el conjunto de todos los circuitos basados en algún punto de $x$. Se define una relación de equivalencia se llama homotopy en los elementos de este conjunto, y la relación de equivalencia de las particiones del conjunto en clases de equivalencia. Ahora imponer una estructura de grupo en estas clases mediante la identificación de la identidad y la definición de la multiplicación: se multiplican a clases de $A$$B$, por lo que elegir un elemento $a$$A$, y un elemento $b$$B$, y se multiplican los bucles $a$ $b$ y llame el producto de $A$ $B$ como la clase de equivalencia de a $ab$ $$A \circ B = [a\cdot b]$$ Sin embargo, la elección de $a$ $A$ $b$ $B$ " se parece mucho a la declaración del axioma de elección, la cual habla acerca de escoger los elementos representativos de distintos conjuntos.

Así que ¿cuál es el problema aquí. Me estoy poniendo algo mal sobre el axioma de elección (muy probable) o fundamentales de los grupos requieren el axioma de elección.

Muy agradecido por su tiempo y ayuda.

Answer 1

No, es no usar el aire acondicionado. Sólo estás haciendo dos "opciones" aquí - no necesita de CA para eso, el hecho de que un conjunto no vacío tiene un elemento. Usted necesidad de CA cuando usted necesita para hacer una infinidad de "opciones" a "simultáneamente".

Formalmente, AC dice esto: Decir $X$ es un conjunto, $P(X)$ es el juego de poder, $F:S\to P(X)$ $F(s)\ne\emptyset$ por cada $s\in S$. Entonces existe $f:S\to X$ tal que $f(s)\in F(s)$ todos los $s\in S$.

Si $S$ es finito no necesita de CA, que la afirmación de la siguiente manera a partir de los otros axiomas de la teoría de conjuntos.

---

EDIT: Al menos una persona ha sido confundido por la conexión entre los formalismos aquí y en el OP. Para ser explícitos, si no pedante:

Supongamos $A$ $B$ son como en el OP. Ratas, otro notación de conflicto. Digamos que el OP está hablando de un espacio topológico $\Omega$. Deje $X$ ser el conjunto de todos los bucles en $\Omega$$x$. A continuación, $A$ $B$ son subconjuntos no vacíos de a $X$.

Definir $F:\{0,1\}\to P(X)$ por $F(0)=A$, $F(1)=B$. AC dice que no existe $f:\{0,1\}\to X$ con $f(j)\in F(j)$, $j=0,1$. Pero no necesitamos de CA para eso, podemos decir "vamos a $f(0)=a\in A$ y deje $f(1)=b\in B$".

Aquí $S=\{0,1\}$. Si $S$ es infinito, no podemos definir $f$ un elemento a la vez, lleva demasiado tiempo.

Answer 2

Este es un problema conocido, y la manera en que nos rodea es, de hecho, demostrando que la operación del grupo no depende de la elección de los representantes. Esto nos permite hacer todo tipo de cálculos con sólo elegir dos elementos al mismo tiempo.

Y la elección de dos elementos a partir de los dos no está vacía de conjuntos no es una opción en absoluto. Es simplemente la repetición de dos instancias de "instanciación existencial", donde podemos reemplazar un cuantificador existencial por un objeto.

El axioma de elección es necesaria cuando se tiene una infinidad de opciones para hacer a la vez. Y aunque esto es sólo una regla general del pulgar.

---

Usted puede encontrar definiciones similares cuando la definición de los números reales como clases de equivalencia de secuencias de Cauchy, o a la hora de definir el cardenal aritmética, o simplemente cuando se suele definir cualquier tipo de función en un conjunto y demostrar que se puede definir una relación de equivalencia que esta función puede ser "tirado" para el conjunto cociente.