Ecuación matricial lineal que implica $\sum_i A_i X B_i$

Question

Se trata de una ecuación matricial lineal no estándar: $$\begin{equation} X \quad+\quad \sum_{i=1}^r \Big( (A_i X B_i) + (A_i X B_i)^T + (B_i X A_i) + (B_i X A_i)^T \Big) \quad=\quad C \end{equation}$$ Los símbolos en mayúsculas, es decir $X, A_i, B_i, C$ denota $n \times n$ matrices reales. $X$ es la incógnita que queremos resolver. Consideraciones adicionales:

1. El número de términos $r$ es grande.
2. $C$ es simétrico
3. $A_i$ son todas matrices de rango uno (no estoy seguro de si esta información es útil para expresar $X$ sin embargo).

¿Existe una manera elegante de expresar la forma de solución $X$ ?

Gracias por su ayuda.

Golabi

Answer 1

Cada sumando del signo de suma se simetriza y $C$ es simétrica. Por lo tanto $X$ debe ser simétrica y la ecuación es equivalente a $$X+\sum_i\left(A_iXB_i+B_i^TXA_i^T+B_iXA_i+A_i^TXB_i^T\right)=C,$$ que puede reescribirse como (véase Wikipedia ) $$\left[I+\sum_i\left(B_i^T\otimes A_i+A_i\otimes B_i^T+A_i^T\otimes B_i+B_i\otimes A_i^T\right)\right]\operatorname{vec}(X)=\operatorname{vec}(C).$$ Llama a la matriz dentro del par de corchetes $M$ . La ecuación $M\operatorname{vec}(X)=\operatorname{vec}(C)$ es resoluble si y sólo si $MM^+\operatorname{vec}(C)=\operatorname{vec}(C)$ donde $M^+$ denota el pseudoinverso de Moore-Penrose de $M$ . En caso de que sea solucionable, $\operatorname{vec}(X)=M^+\operatorname{vec}(C)$ es siempre una solución.