Encontrar funciones triples $ (g_0,g_1,g_2)$ tal que $g_0+g_1'+g_2'' = \delta_0-\delta_1$

Question

Quiero encontrar un triple de funciones continuas compactamente soportadas $ (g_0,g_1,g_2)$ en $\mathbb{R}$ tal que $$g_0+g_1'+g_2'' = \delta_0-\delta_1$$

Esto es aparentemente no es tan difícil, pero ive roto mi sobre esto, probado combinaciones de $x\cdot \mathbb{I}_{[0,1]} $ y otras funciones, pero yo simplemente no lo entiendo ..

Se agradecen mucho las sugerencias sobre lo que podría funcionar.

Answer 1

Empecemos por encontrar un $f$ con $f'' = \delta_0 - \delta_1$ . Para algunos $a \in \mathbb R$ tenemos $$ f'(x) = a + \mathbb 1_{[0,1]}(x) = \begin{cases} a & x \not\in [0,1] \\ a + 1 & x \in [0,1] \end{cases} $$ (denotando por $\mathbb 1_E$ la función indicadora de un conjunto $E \subseteq \mathbb R$ ) y por lo tanto integrando una vez más para algunos $b \in \mathbb R$ $$ f(x) = ax + x\mathbb 1_{[0,1]}(x) + \mathbb 1_{(1,\infty)}(x) + b $$ elijamos $a = b = 0$ dejándonos con $$ f(x) = x\mathbb 1_{[0,1]}(x) + \mathbb 1_{(1,\infty)}(x) $$ Ahora dejemos que $\eta \in C^\infty_c(\mathbb R)$ sea una función de prueba con $\eta|_{[-1, 2]} = 1$ y $g_2 = f\eta$ entonces $$ g_2'' = f''\eta + 2f'\eta' + f\eta'' $$ Ahora $f''\eta = f''$ como $\eta$ es igual a 1 en una vecindad abierta del soporte de $f''$ . Si dejamos ahora $g_1 = -2f\eta'$ tenemos $g_1' = -2f'\eta' - 2f\eta''$ , dando $$ g_2'' + g_1' = f'' - f\eta'' $$ ahora $g_0 = f\eta''$ y obtener $$ g_2'' + g_1' + g_0 = f'' = \delta_0 - \delta_1. $$

Answer 2

Primera serie $$f(x) = \left\{\begin{array} 0 0 &:if\quad x\leq 0 \\ x &:if\quad 0\leq x\leq 1 \\ 1 &:if\quad 1\leq x\end{array}\right.$$

Entonces $f''(x) = \delta_0 - \delta_1$

Ahora supongamos que puedo encontrar alguna función dos veces diferenciable $g$ con $g(x) = 0$ para un valor de $x$ y $g(x) = 1$ para un $x$ .

Entonces $$\begin{array}{rcl}g_1(x)&=&0 \\ g_2(x) &=& g'(x) \\ g_3(x) &=& f(x) - g(x) \end{array}$$ Estará bien.

Supongo que no tendrá muchos problemas para encontrar un $g$ .