Necesito calcular la integral de $1 / (2x^2+2x+1)$ .
Utilicé WolframAlpha y obtuve esta respuesta: $$\tan^{-1}(2x+1)$$ pero no entiendo cómo llegar allí.
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Respuestas
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Andrew Dunne Jr.
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Tenga en cuenta en primer lugar que $\displaystyle \int \frac{dy}{a^2+y^2} = \frac1a \tan^{-1}\left(\frac{y}{a} \right)$ . Se obtiene sustituyendo $y = a \tan( \theta)$ en el integrando e integrando.
Para tu problema, $I = \displaystyle \int \frac{dx}{2x^2 + 2x+1}$ . Primero complete el cuadrado en el denominador, es decir, reescriba $2x^2 + 2x + 1$ como $2 \left(x^2 + x + \frac12 \right) = 2 \left( \left( x + \frac12 \right)^2 + \left(\frac12 \right)^2 \right)$ . Por lo tanto, obtenemos $$I = \displaystyle \int \frac{dx}{2x^2 + 2x+1} = \int \frac{dx}{2 \left( \left( x + \frac12 \right)^2 + \left(\frac12 \right)^2 \right)} = \frac12 \int \frac{dx}{\left( \left( x + \frac12 \right)^2 + \left(\frac12 \right)^2 \right)}.$$ Configuración $y = x + \frac12$ obtenemos $$I = \frac12 \int \frac{dy}{y^2 + \left(\frac12 \right)^2} = \tan^{-1}(2y) = \tan^{-1}(2x+1).$$
Gudmundur Orn
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Joseph Perkins
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Bueno, hay algunos métodos generales que quieres emplear cuando ves una función racional como esa. Recuerda buscar completar el cuadrado, sustituciones trigonométricas inversas, sustituciones directas, integración por partes o fracciones parciales. En este caso, parece que completar el cuadrado o incluso factorizarla podría funcionar, lo intentaré.
$$\int \frac{1}{2x^2 + 2x +1} dx = \int \frac{1}{2(x^2 + x + \frac{1}{2})} dx= \int \frac{1}{2((x+\frac{1}{2})^2 + \frac{1}{4})} dx$$
A partir de aquí yo recomendaría utilizar una sustitución directa de $u=x + \frac{1}{2}$ y continuando desde aquí como se sugiere en las otras respuestas.
