Interpolación del primorial $p_{n}\#$

Question

El primorial $p_{n}\#$ viene dado por el producto $p_n\# = \prod_{k=1}^n p_k$ (donde $p_{k}$ es el $k$ primo) -- ¿existe una función natural (como la función gamma $\Gamma(z)$ ) de interpolarla para argumentos que no sean necesariamente un número natural? (o en $\mathbb{C}$ ?)

He probado a partir de la siguiente definición de la función gamma:

$$\Gamma(z) = \lim_{n \to \infty} \frac{n! \; n^z}{z \; (z+1)\cdots(z+n)} = \frac{1}{z} \prod_{n=1}^\infty \frac{\left(1+\frac{1}{n}\right)^z}{1+\frac{z}{n}}$$

Mi primer pensamiento fue modificar el símbolo Pochhammer en el denominador:

$$\Gamma_{?}(z) = \lim_{n \to \infty} \frac{p_{n}\# \; p_{n}^z}{z \; (z+p_{1})\cdots(z+p_{n})}$$

Pero está claro que esto no funciona, porque los primos no están espaciados regularmente.

Answer 1

Tome el registro de $p_n\# = \prod_{k=1}^n p_k$ para obtener $$ \log p_n\# = \sum_{k=1}^n \log p_n, $$ donde se reconoce el primera función de Chebyshev $\theta(n)$ que tiene un comportamiento asintótico de $\theta(n)\sim n$ . Escribe la suma como integral y utiliza $$ \int_2^x f(t) d(\pi(t))=f(t)\pi(t)\biggr|_{2}^{x}-\int_{2}^{x}f'(t)\pi(t)dt. $$ de aquí para conseguirlo: $$ \begin{eqnarray} \sum_{k=1}^n \log p_n &=& \int_2^n \log k\; d\pi(k)\\ &=& \log(k)\pi(k)\biggr|_{2}^{n}-\int_{2}^{n}\frac1k \pi(k)dk. \end{eqnarray} $$ Ahora, ponga su representación favorita para $\pi(x)$ como $ \pi(x) = \operatorname{R}(x^1) - \sum_{\rho}\operatorname{R}(x^{\rho}) , $ con $ \operatorname{R}(x) = \sum_{n=1}^{\infty} \frac{ \mu (n)}{n} \operatorname{li}(x^{1/n})\;$ y $\rho$ atropellando todos los ceros de $\zeta$ para obtener $\log p_n\#\;$ .

Elija, por ejemplo, la aproximación $\pi(n)\sim \frac{n}{\log n}$ entonces se obtiene $$ \log p_n\# \sim \log(k)\frac{k}{\log k}\biggr|_{2}^{n}-\int_{2}^{n}\frac1k \frac{k}{\log k}dk = (n-1)-\text{Li}(x) \;. \tag{$ * $} $$ Exponencie $(*)$ y ya está...