mensurabilidad de funciones valoradas en espacios métricos

Question

Digamos que tenemos un espacio de medidas $(X, \Sigma)$ y un espacio métrico $(Y, d)$ con su álgebra sigma de Borel. Si $f_n: X\rightarrow Y$ es una secuencia arbitraria de funciones medibles, entonces ya sé que si $f$ es un límite puntual en todas partes, entonces $f$ es medible. Pero si no asumo que converge en todas partes, y en su lugar pregunto dónde converge, ¿es el conjunto de puntos en los que la $f_n$ convergen mensurable?

Answer 1

No en general. Considere las funciones $f_n:X\to X\times [0,1]$ definido por $f_n(x)=(x,1/n)$ . Esta secuencia converge en todas partes a $x\mapsto (x,0)$ . Ahora saco un truco: definir $Y=(X\times [0,1])\setminus (E\times \{0\})$ donde $E\subset X$ es un conjunto no medible. Las funciones $f_n:X\to Y$ definidas como arriba, convergen sólo en el conjunto $X\setminus E$ que no se puede medir.

Pero es cierto (como dijo Davide Giraudo) que el conjunto de todos los $x\in X$ tal que $(f_n(x))$ es una sucesión de Cauchy es medible. En concreto, es $\bigcap_k \bigcup_N \bigcap_{m\ge N} \bigcap_{n\ge N} A(m,n,k)$ donde $$A(m,n,k)=\{x\in X : d(f_m(x),f_n(x))<1/k\}$$

En consecuencia, el conjunto de convergencia es medible cuando $Y$ está completo.