Inyección de la unión en la unión disjunta

Question

Dada una familia de conjuntos $(A_i : i \in I)$ definimos la unión disjunta: $$\sum_{i \in I} A_i = \bigcup_{i \in I} (\{i\} \times A_i).$$

Existe una sobreproyección $\sum_{i \in I}A_i \to \bigcup_{i \in I} A_i$ dado por $(i,a) \mapsto a$ por lo que por el Axioma de Elección existe una inyección $\bigcup_{i \in I} A_i \to \sum_{i \in I}A_i$ .

Mi pregunta es si se necesita AC (o algún fragmento de ella) para demostrar que hay una inyección $\bigcup_{i \in I} A_i \to \sum_{i \in I}A_i$ .

(Si no recuerdo mal, no se sabe si "toda imagen sobreyectiva de cualquier conjunto $X$ inyecta en $X$ " implica AC.)

Answer 1

La afirmación "Si $f\colon X\to A$ es suryente entonces hay $g\colon A\to X$ inyectiva" se conoce como El principio de partición .

De hecho, todavía está abierto si el principio de partición implica o no el axioma de elección. (Es uno de mis objetivos para el futuro inmediato, resolver este problema, aunque es un objetivo que soy plenamente consciente de que es poco probable que consiga).

Para ver que la formulación $\bigcup A_i\leq\sum A_i$ es equivalente al Principio de Partición, una dirección es trivial (claramente PP implica esta cosa), y en la otra dirección suponga $f\colon A\to B$ es suryente, toma $I=A$ y $X_a=\{f(a)\}$ . Tenemos que $\bigcup X_a=B$ mientras que $\sum X_a=f$ que está naturalmente en biyección con $A$ . Exigir, si es así, una inyección de la unión a la suma implica una inyección de $B$ de nuevo en $A$ como se quiera.

La afirmación "toda suryección se divide" implica efectivamente el axioma de elección, es decir, el mapa $(i,a)\mapsto i$ es una suryección entonces hay una inyección que la divide, es exactamente afirmar una función de elección.

Pero exigir sólo la existencia de al menos una inyección siempre que haya una suryección no es suficiente para garantizar que todas las suryecciones se dividan, al menos no como las conocemos. Incluso va más allá, no creo que también conozcamos tantos contraejemplos.

Los únicos conjuntos que conozco que tienen la propiedad de que siempre que $f\colon X\to Y$ es suryente entonces hay $g\colon Y\to X$ inyectivos son conjuntos cuyas suryecciones se dividen, y esos son fuertes $\kappa$ -conjuntos amorfos, es decir, conjuntos que toda partición en dos conjuntos implica que uno es más pequeño que $\kappa$ y que cada partición en no menos de $\kappa$ partes es casi todo monotonía (casi todo: significa todo menos $<\kappa$ muchas partes).

Por ejemplo, si $A$ es fuertemente amorfo (lo que significa que no puede dividirse en dos conjuntos infinitos, y cada partición infinita es todo menos un número finito de monotonos) entonces toda suryección desde $A$ se separa.

No conozco ningún conjunto que no tenga el principio de partición en ZF, o incluso que tenga consistentemente propiedades de partición.