Composición de las transformaciones de Lorentz

Question

Si una partícula se mueve en el $x$ -dirección con velocidad $c/2$ entonces la transformación de Lorentz $\Lambda = \begin{pmatrix}\gamma & -\beta \gamma & 0 & 0 \\ -\beta \gamma & \gamma & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 1 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix}\cosh\ \phi & -\sinh\ \phi & 0 & 0 \\ -\sinh\ \phi & \cosh\ \phi & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 1 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix}\frac{2}{\sqrt{3}} & -\frac{1}{\sqrt{3}} & 0 & 0 \\ -\frac{1}{\sqrt{3}} & \frac{2}{\sqrt{3}} & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 1 \end{pmatrix}$ donde la rapidez $\phi$ viene dada por $\tanh\ \phi = \frac{v}{c}$ .

Posteriormente, si la partícula se mueve en el $y$ -dirección con velocidad $c/2$ entonces la transformación de Lorentz $\Lambda' = \begin{pmatrix}\gamma & 0 & -\beta \gamma & 0 \\ 0 & 1 & 0 & 0 \\ -\beta \gamma & 0 & \gamma & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 1 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix}\cosh\ \phi & 0 & -\sinh\ \phi & 0 \\ 0 & 1 & 0 & 0 \\ -\sinh\ \phi & 0 & \cosh\ \phi & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 1 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix}\frac{2}{\sqrt{3}} & 0 & -\frac{1}{\sqrt{3}} & 0 \\ 0 & 1 & 0 & 0 \\ -\frac{1}{\sqrt{3}} & 0 & \frac{2}{\sqrt{3}} & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 1 \end{pmatrix}$ .

Por lo tanto, la transformación combinada $\Lambda''(w) = \Lambda' \Lambda = \begin{pmatrix}\cosh^{2}\ \phi & -\sinh\ \phi\ \cosh\ \phi & -\sinh\ \phi & 0 \\ -\sinh\ \phi & \cosh\ \phi & 0 & 0 \\ -\sinh\ \phi\ \cosh\ \phi & \sinh^{2}\ \phi & \cosh\ \phi & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 1 \end{pmatrix}$ .

Pero ahora estoy teniendo un poco de problemas para encontrar la velocidad de impulso $w$ para $\Lambda''(w)$ . ¿Alguna sugerencia?

Answer 1

Un enfoque alternativo al uso de una representación matricial para el operador de rotación es utilizar en su lugar el álgebra de Clifford. Es posible que conozcas el álgebra de Clifford en la forma de las matrices de Pauli y Dirac, de la mecánica cuántica.

Un impulso en la $i$ a dirección se describe completamente mediante un "rotor", que adopta la forma $$q = \exp(-\gamma_0 \gamma_i \phi/2) = \cosh \frac{\phi}{2} - \gamma_0 \gamma_i \sinh \frac{\phi}{2}$$

Si estás acostumbrado a pensar en las matrices de Dirac como, bueno, matrices, entonces siéntete libre de escribir $I \cosh \frac{\phi}{2}$ en su lugar. Aquí, sin embargo, evito tratar estos objetos como matrices -sólo necesito su ley de multiplicación para utilizar sus propiedades del álgebra de Clifford- y como tal, considero que tal término es "escalar" comparado con el espacio vectorial formado por el $\gamma_\mu$ .

Ahora bien, si estás familiarizado con los cuaterniones, puede que reconozcas lo que estamos haciendo: de hecho, podemos proceder exactamente igual que en los cuaterniones (y un buen ejercicio es derivar cuaterniones utilizando el álgebra de Pauli). Un vector $v$ que es una combinación lineal $v = v^\mu \gamma_\mu$ puede potenciarse mediante

$$R(v) = q v q^{-1} = \exp(-\gamma_0 \gamma_i \phi/2) v \exp(\gamma_0 \gamma_i \phi/2)$$

Multiplique todo esto y obtendrá la fórmula habitual para un impulso.

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Ahora tomemos tu ejemplo, y multipliquemos dos rotores: uno impulsando a lo largo de $e_x = \gamma_1$ y otro impulsando a lo largo de $e_y = \gamma_2$ :

$$\left(\cosh \frac{\phi}{2} - \gamma_0 \gamma_1 \sinh \frac{\phi}{2} \right) \left(\cosh \frac{\phi}{2} - \gamma_0 \gamma_2 \sinh \frac{\phi}{2} \right)$$

Recuerda las reglas de multiplicación clifford: $\gamma_\mu \gamma_\nu = -\gamma_\nu \gamma_\mu$ si $\mu \neq \nu$ . y $\gamma_\mu \gamma_\mu = \eta_{\mu \mu}$ (sin suma). Los gammas son asociativos, por lo que podemos manipular la expresión para obtener

$$\cosh^2 \frac{\phi}{2} - \left(\sinh\frac{\phi}{2} \cosh \frac{\phi}{2}\right) [\gamma_0 \gamma_1 + \gamma_0 \gamma_2] - \gamma_1 \gamma_2 \sinh^2 \frac{\phi}{2}$$

utilizando $\eta = (+,-,-,-)$ convención.

La presencia del $\gamma_1 \gamma_2$ nos dice que hay un rotación introducido cuando componemos boosts de esta manera (al menos, cuando esos boosts no utilizan el mismo plano).

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¿Tiene sentido hablar de la velocidad de impulsión para una operación que tiene términos de impulsión y términos de rotación pura? Recuerda que no se trata simplemente de un impulso y luego una rotación, ni de una rotación y luego un impulso: ambos se producen a la vez al aplicar este operador.

Sin embargo, si tienes una definición de velocidad de sobrealimentación que se aplique a este caso, estaré encantado de girar la manivela y calcularla.

Answer 2

Si estás haciendo lo que creo que estás haciendo entonces, estás tratando de obtener la matriz Boost para una dirección arbitraria. Entonces la forma de hacerlo será utilizar la matriz boost generalizada (ver J D Jackson página547 o http://en.wikipedia.org/wiki/Lorentz_transformation ). La matriz con la que se puede comparar para obtener la velocidad de wikipedia es imagen .

En concreto, fíjese en la primera fila y en la primera columna y, a continuación $\Lambda_{11} = \gamma, \frac{c \Lambda_{12}}{\Lambda_{11}} = v_x, \frac{c \Lambda_{13}}{\Lambda_{11}} = v_y$ y $\frac{c \Lambda_{14}}{\Lambda_{11}} = v_z$

Aparte: ¿Estás seguro de que tu última matriz es correcta? No es simétrica.