Definición de $\sigma(X_{1},X_{2},...,X_{n})$

Question

Estoy estudiando la definición del álgebra sigma generada por una colección de variables aleatorias. No veo por qué es necesaria una parte concreta de la definición. La definición que estoy utilizando es la siguiente:

Supongamos que $X_{1},X_{2},...,X_{n}$ son vehículos recreativos en $(\Omega,A,P)$ . Establecer $C=\sigma (X_{1})\cup\sigma(X_{2})\cup ,...\cup\sigma(X_{n})$ . Entonces $\sigma(C)$ se indica $\sigma(X_{1},X_{2},...,X_{n})$ que es el más pequeño $\sigma$ -que hace que las variables aleatorias $X_{1},X_{2},...,X_{n}:\Omega\rightarrow R$ mensurable.

Mi pregunta es, ¿por qué es necesario utilizar $\sigma (C)$ en lugar de $C$ como nuestro $\sigma$ -¿Álgebra? Parece que cualquier evento $(X_{i})^{-1}(A)\in\sigma(X_{i})\subset C$ para $A\in B(R)$ haciendo que todos $X_{i}$ medible con respecto a $C$ .

EDITAR : Después de pensar más sobre esto sospecho que lo anterior no funciona ya que $C$ no tiene por qué ser un $\sigma$ -álgebra, sin embargo si este es el caso no estoy seguro de cómo demostrarlo.

Answer 1

$C$ no es un álgebra sigma en general. Por ejemplo $X_1^{-1}(A)$ y $X_2^{-1}(B)$ están en él (si $A$ y $B$ son conjuntos de Borel) pero no hay ninguna razón por la que su intersección esté en $C$ .

Ejemplo. Sea $n=2,X=I_E$ y $Y=I_F$ . Entonces $E$ y $F$ están en $C$ pero $E\cap F$ no necesita estar en $C$ desde $\sigma (X) \cup \sigma (Y)=\{\emptyset, \Omega, E,E^{c}F,F^{c}\}$ .

Sea $D$ sea cualquier álgebra sigma que haga que cada $X_i$ mensurable. Entonces $\sigma(X_i) \subset D$ para todos $i$ así que $C \subset D$ . Esto implica también $\sigma (C) \subset D$ . Desde $\sigma (C)$ es un álgebra sigma que hace que cada $X_i$ medible se deduce que es la más pequeña de dichas álgebras sigma.

Answer 2

Permítanme añadir que se puede demostrar que: $$\sigma(X_1,\dots,X_n)=X^{-1}(\mathcal B(\mathbb R^n)):=\{X^{-1}(B)\mid B\in\mathcal B(\mathbb R^n)\}$$ donde $X:\Omega\to\mathbb R^n$ es prescrito por: $$\omega\mapsto (X_1(\omega),\dots,X_n(\omega))$$ Aquí $\mathcal B(\mathbb R^n)$ denota el Borel $\sigma$ -en $\mathbb R^n$ es decir, el más pequeño $\sigma$ -que contiene todos los conjuntos abiertos si $\mathbb R^n$ cuenta con su topología habitual.

En palabras: $\sigma(X_1,\dots,X_n)$ es el conjunto de preimágenes de subconjuntos medibles por Borel de $\mathbb R^n$ en $X$ .

También es atractivo saber que: $$\mathcal B(\mathbb R^n)=\mathcal B(\mathbb R)\otimes\cdots\otimes\mathcal B(\mathbb R)$$

que también necesita una prueba.