Sea $W^{1,p}(U)$ sea el espacio de Sobolev, donde $U$ i acotado en $\mathbb{R}^n$ y $u\in W^{1,p}(U)$ s $Du=0$ a.e. en $U$ . Entonces $u$ es constante a.e. en $U$ .
No sé cómo demostrarlo. Especialmente, no sé cómo utilizar "conectado".
Por favor, guíeme.
Sea $\phi_\epsilon$ denota un molificador y $u_\epsilon = u*\phi_\epsilon$ es una función suave en $\Omega_\epsilon := \{x \in \Omega \mid \mathop{\rm dist}(x, \partial\Omega) > \epsilon\}$ . En $Du_\epsilon = Du*\phi_\epsilon = 0$ en $\Omega_\epsilon$ , $u_\epsilon$ es localmente constante en $\Omega_\epsilon$ . Por lo tanto, como $u_\epsilon \to u$ casi en todas partes, $u$ es localmente constante en $\Omega$ . En $\Omega$ está conectado, $u$ es constante en casi todas partes.
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