Pedidos definibles

Question

Sea $(K, <)$ ser un campo de orden, ¿puedo definir el orden "<" en $K$ ?

Sé que $K \models 0<a \;$ si y sólo si existe $b$ en el cierre real de $K$ tal que $b*b = a$ . ¿Puedo "interpretar" el cierre real de $K$ en $K$ ?

Answer 1

Una solución un poco más enrevesada que la de Hagen:

Considere el campo $K=\mathbb Q(t)$ cualquier interpretación de $t$ como número real trascendental definirá una incrustación de $\Bbb Q(t)$ en $\Bbb R$ y con ello una ordenación y un cierre real. Si mapeamos $t=\pi$ y $t=-e$ obtenemos que $t>0$ y $t<0$ respectivamente.

Por lo tanto, la definibilidad del cierre real o del orden es imposible.

Answer 2

Considere $K=\mathbb Q[X]/(X^2-2)$ . Hay dos órdenes en $K$ dependiendo de si asignamos $X\mapsto\sqrt 2 $ o $X\mapsto-\sqrt 2$ . Por lo tanto $<$ no puede recuperarse del campo $K$ solo.