Weierstrass $\wp$ función doblemente periódica

Question

Estoy trabajando mi camino a través de Silverman y Tate de Pregrado de Introducción a las Curvas Elípticas. Todavía no he sido capaz de estudiar la complejidad del análisis, por lo que no es ninguna sorpresa que estoy teniendo un momento difícil con la parte de el libro ahora mismo.

Deje $\omega_1, \omega_2 \in \mathbb{C}$ ser de dos números complejos que se $\mathbb{R}$-linealmente independientes y vamos a: $$L = \mathbb{Z}\omega_1 + \mathbb{Z}\omega_2 = \{n_1\omega_1 + n_2\omega_2 : n_1, n_2 \in \mathbb{Z}\}$$ Vamos $\wp(u) = \frac{1}{u^2} + \sum\limits_{\omega \in L, \omega \neq 0} \left(\frac{1}{(u-\omega)^2} - \frac{1}{\omega^2}\right)$ Mostrar que $\wp$ es doblemente un periódico de la función, es decir, muestran que $$\wp(u + \omega) = \wp(u)$$

Si usted es capaz de, por favor, dame un empujón en la dirección correcta. Gracias!

Queridos ms responden: Gracias a usted, he sido capaz de averiguar. Sí, la convergencia fue bastante complicado y que estaba tratando de hacer esta pregunta en particular, mucho más difícil de lo que realmente era. Gracias!

Answer 1

Usted no necesita el complejo análisis de esta. Simplemente escriba la definición de la serie de $\wp(u+\omega)$. Si usted entiende lo que se suman a lo largo, debe estar bastante claro que se suma "las mismas condiciones", como antes.

Una vez que usted tiene esta idea, de hacer una rigurosa prueba es un ejercicio fácil en el análisis.

Answer 2

Es fácil mostrar que $\wp'(z)$ es doblemente periódica debido a la sustitución de $z$ $z + \omega_k$ $\wp'(z)$ no cambia la serie porque es doblemente infinito. Ahora, la periodicidad de las $\wp'(z)$ implica que el$\wp'(z + \omega_k) - \wp'(z) = 0$, $\wp(z + \omega_k) - \wp(z) = A = \text{const}$, pero $\wp(z)$ es uniforme, de modo que, en la configuración de $z = -\omega_k/2$ podemos deducir que $A = 0$.

Answer 3

La derivada es obviamente periódico, por lo que la función original debe ser también.

La integridad, deben también demostrar que la función es absolutamente convergente (de modo que el orden en el que suma más de la celosía no importa) y uniformemente convergente en subconjuntos compactos (así se define una función de meromorphic). Si usted no ha tenido ningún tipo de complejos, análisis, usted puede ser capaz de omitir la última bits sin ningún tipo de problemas en la línea.