Valor propio de un polinomio

Question

Sea $A: \mathbb C^4 \to \mathbb C^4$ sea un operador lineal y que $f(x)$ sea un polinomio con coeficientes complejos. Si $c$ es un valor propio de $f(A)$ ¿existe un valor propio $a$ de $A$ tal que $f(a) = c$ ?

Por favor, explique por qué esto es cierto o falso.

Answer 1

La afirmación es cierta. Una prueba es la siguiente: sea $f(z) - c = (z-z_1)\cdots(z-z_d)$ sea una factorización en factores lineales. Cada $z_i$ satisface $f(z_i) = c$ . Si $f(A)$ tiene $c$ como un vector propio, entonces $f(A) - cI$ no es invertible. Aplicando nuestra factorización anterior, esto significa que el producto de matrices $$ (A - z_1 I) \cdots (A - z_d I) $$ no es invertible. Por lo tanto, $(A - z_i I)$ es no invertible para algún $i$ . Es decir, $z_i$ debe ser un vector propio de $A$ .