¿Se pueden escribir todos los números pares de esta forma?

Question

Intento demostrar, o refutar (aunque creo que es cierto), que para todos los $n \in \mathbb{N}$ existe $a, b, c, d \in \mathbb{N}$ tal que $2n = (a + 1)(a + 2^{b + 1}) - (c + 1)(c + 2^{d + 1})$ .

He intentado la inducción manipulando variables para mostrar $2n + 2$ pero no consigo obtener una expresión para $2n + 2$ .

Answer 1

Existen valores explícitos de $a,b,c,d$ : $$ b=d=1,\quad a=n-2, \quad c=n-3. $$

Además, puede construir valores de $a$ y $c$ para arbitraria $b=d$ por el mismo camino.