Espectro de un $\ell^2$ operador

Question

Tengo problemas para encontrar los espectros del siguiente operador $T$ :

$T: \ell^2 \rightarrow \ell^2$ , $x = (\xi_i)_i \in \ell^2$ : \begin{equation} Tx = (0,\frac{\xi_1}{1}, \frac{\xi_2}{2}, \ldots) \end{equation}

Es evidente que no es invertible, por lo que $0 \in \sigma(T)$ . Además, he demostrado que $\sigma_p(T)= \emptyset$ . Por qué $\{0\} = \sigma(T) = \sigma_r(T)$ ?

Answer 1

Para $n\in\mathbb{N}$ es fácil ver que $$T^nx = \left(\underbrace{0, \ldots, 0}_n, \frac{\xi_1}{n!}, \frac{\xi_2}{(n+1)!}, \ldots, \frac{\xi_k}{(n+k-1)!}, \ldots\right)$$

Esto implica $$\|T^nx\|_2^2 = \sum_{k=1}^\infty \left|\frac{\xi_k}{(n+k-1)!}\right|^2 \le \frac1{n!^2} \sum_{k=1}^\infty |\xi_k|^2 =\frac1{n!^2} \|x\|_2^2 $$ así que $\|T^n\| \le \frac1{n!}$ . Por lo tanto, el radio espectral es $$r(T) = \lim_{n\to\infty} \|T^n\|^{\frac1n} \le \lim_{n\to\infty} \left(\frac1{n!}\right)^{\frac1n} = 0$$

así que $\sigma(T) \subseteq \{0\}$ . Desde $0 \in \sigma(T)$ lo siguiente $\sigma(T) = \{0\}$ .

$T$ es inyectiva por lo que $0 \notin \sigma_p(T)$ . También, $\operatorname{Im} T \subseteq \{x = (\xi_i)_i \in \ell^2 : \xi_1 = 0\}$ que no es denso en $\ell^2$ así que $0 \notin \sigma_c(T)$ . Por lo tanto $0 \in \sigma_r(T)$ .

Por lo tanto $\sigma(T) = \sigma_r(T) = \{0\}$ y $\sigma_p(T) = \sigma_c(T) = \emptyset$ .