Si $f$ es diferenciable complejo, entonces también lo es $\bar{f}$ ?

Question

Supongamos que $f$ es diferenciable en un conjunto abierto $U$ es $\bar{f}$ ¿también diferenciable?

Suponiendo $f'(z)=\lim_{z\to z_0}\frac{f(z)-f(z_0)}{z-z_0}$ existe hace $\overline{f(z)}=\lim_{z\to z_0}\frac{\overline{f(z)}-\overline{f(z_0)}}{z-z_0}$ ¿también existen?

¿Son sólo propiedades de los límites?

$\overline{f}'(z)=\lim_{z\to z_0}\frac{\overline{f(z)}-\overline{f(z_0)}}{z-z_0}=\frac{\lim_{z\to z_0}\overline{f(z)}-\overline{f(z_0)}}{\lim_{z\to z_0} z-z_0}$

Entonces $\epsilon >0$ por suposición existe $\delta >0$ s.t si $\vert z-z_0\vert <\delta$ entonces $\vert f(z)-f(z_0)\vert <\epsilon$

y $\vert f(z)-f(z_0)\vert=\vert \overline{f(z)}-\overline{f(z_0)}\vert<\epsilon$

así que $\frac{\lim_{z\to z_0}\overline{f(z)}-\overline{f(z_0)}}{\lim_{z\to z_0} z-z_0}$ existe y $f'(z)=\overline{f'(z)}$ ?

Answer 1

$\overline{f}'(z)=\lim_{z\to z_0}\frac{\overline{f(z)}-\overline{f(z_0)}}{z-z_0}=\frac{\lim_{z\to z_0}\overline{f(z)}-\overline{f(z_0)}}{\lim_{z\to z_0} z-z_0}$

No puedes dividir los límites así.

La propiedad de los límites dice $$\lim_{z\to z_0}\frac{f(z)}{g(z)} = \frac{\displaystyle \lim_{z\to z_0} f(z)}{\displaystyle \lim_{z\to z_0} g(z)}$$ siempre que existan ambos límites en el lado derecho y $\displaystyle\lim_{z\to z_0} g(z) \ne 0$

Entonces $\epsilon >0$ suponiendo que exista $\delta >0$ s.t si $\vert z-z_0\vert <\delta$ entonces $\vert f(z)-f(z_0)\vert <\epsilon$ y $\vert f(z)-f(z_0)\vert=\vert \overline{f(z)}-\overline{f(z_0)}\vert<\epsilon$

Esto demuestra que si $f$ es continua y $\overline{f}$ .