Acción en parejas, en sets y en puntos en GAP

Question

Estoy intentando comprender el GAP en la acción de grupo. Estoy confundido en algunas cosas lo que es la diferencia entre la acción en pares, en conjuntos, con el dominio a veces en la lista, y en los bloques. Por favor, ayúdame a aclarar estas cosas. Gracias.

Answer 1

En "Acciones de grupo" El capítulo del manual de referencia GAP documenta las acciones estándar, y si se desplaza hasta OnTuplesTuples Habrá un ejemplo común para todos ellos. Me limitaré a tomar de ahí ejemplos de las tres acciones en cuestión, e intentaré arrojar más luz.

En primer lugar, cree $A_4$ como g :

gap> g:=Group((1,2,3),(2,3,4));;
gap> AsList(g);
[ (), (2,3,4), (2,4,3), (1,2)(3,4), (1,2,3), (1,2,4), (1,3,2), (1,3,4), 
  (1,3)(2,4), (1,4,2), (1,4,3), (1,4)(2,3) ]

El grupo g actúa transitivamente sobre el conjunto $1,2,3,4$ así que $1$ puede asignarse a cualquiera de los puntos $1,2,3,4$ :

gap> Orbit(g,1,OnPoints);
[ 1, 2, 3, 4 ]

Por ejemplo:

gap> 1^(1,2)(3,4);
2
gap> 1^(1,3,2);
3
gap> 1^(1,4,2);
4

OnPairs extiende OnPoints en pares de puntos. Una permutación s de g asignará el par [i,j] a [i^s,j^s] :

gap> Orbit(g,[1,2],OnPairs);
[ [ 1, 2 ], [ 2, 3 ], [ 1, 3 ], [ 3, 1 ], [ 3, 4 ], [ 2, 1 ], 
  [ 1, 4 ], [ 4, 1 ], [ 4, 2 ], [ 3, 2 ], [ 2, 4 ], [ 4, 3 ] ]

Por ejemplo,

gap> OnPairs([1,2],(1,2,3));
[ 2, 3 ]
gap> OnPairs([1,2],(1,3,4));
[ 3, 2 ]

etc.

Por fin, OnSets actúa como OnPairs pero además ordena las entradas del resultado:

gap> Orbit(g,[1,2],OnSets);
[ [ 1, 2 ], [ 2, 3 ], [ 1, 3 ], [ 3, 4 ], [ 1, 4 ], [ 2, 4 ] ]

Así, [ 2, 3 ] y [ 3, 2 ] no se distinguen en el caso de OnSets acción:

gap> OnSets([1,2],(1,2,3));
[ 2, 3 ]
gap> OnSets([1,2],(1,3,4));
[ 2, 3 ]

Espero que esto ayude a aclarar las cosas.