Diferencia entre la función de Green y la matriz de densidad

Question

1. ¿Cuál es la diferencia básica entre la función de Green o propagador de un sistema dado y la matriz de densidad (en la base de posición) del mismo sistema?

2. ¿Puede alguien explicar la diferencia entre con algún ejemplo, digamos oscilador armónico unidimensional?

Answer 1

La función de Green de una partícula en el dominio del tiempo (omitiendo la ordenación temporal) de un sistema no interactuante puede escribirse en términos de las funciones propias del Hamiltoniano $ \psi_n$

$ G(\mathbf{r},t;\mathbf{r}',t') = \sum_n \psi_n(\mathbf{r}) \, \psi_n^*(\mathbf{r}') \; e^{-i/\hbar E_n (t-t')} $ ,

donde el exponencial del final es el operador de evolución temporal $ U(t,t')$ que dicta la evolución de la función de onda $ \Psi(\mathbf{r}',t') $ a $\Psi(\mathbf{r},t)$ en intervalos de tiempo infinitesimales.

Compara la ecuación anterior con la matriz de densidad de primer orden de una función de onda monodeterminante

$ \gamma_1(\mathbf{r};\mathbf{r}') = \sum_n \psi_n(\mathbf{r}) \, \psi_n^*(\mathbf{r}')$ .

La matriz de densidad de primer orden se obtiene a partir de la función de Green por integración de contornos

$ \gamma_1(\mathbf{r};\mathbf{r}') = - \frac{1}{2\pi i} \int_C G(\mathbf{r},t;\mathbf{r}',t) \, \mathrm{d}t $ .

Una forma de pensar en la función de Green es como una función de correlación. Mientras que la función de Green mide las correlaciones espaciotemporales, la matriz de densidad mide las correlaciones espaciales.

Answer 2

La matriz de densidad puede representarse como una función de Green en tiempos iguales. Por ejemplo, en el caso de una partícula: $$ \rho(\mathbf{r},\mathbf{r}',t)=G(\mathbf{r},t; \mathbf{r}',t'=t). $$

Quienes estén familiarizados con la expansión diagramática disfrutarán la crítica de Rammer (no la más conocida de Rammer&Smith) donde se obtiene la expansión diagramática para la matriz de densidad.