Demostrar que si $n \in \mathbb{N}$ entonces $$\sum_{d|n}{(d(n))^3}=(\sum_{d|n}{d(n)})^2$$ donde $d(n)$ es la función divisora. He conocido la única información es $d(n)=\sum_{d|n}{1}$ .
Respuesta
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Esquema: Sea $f(n)$ sea la función de la izquierda, y $g(n)$ la función de la derecha.
Ambos $f$ y $g$ son multiplicativo .
Por tanto, sólo tenemos que comprobar que la igualdad se cumple cuando $n$ es una potencia de un primo. La multiplicatividad nos da atutomáticamente el resto.
El número $p^k$ tiene $k+1$ divisores: en símbolos, $d(p^k)=k+1$ .
Así que queremos demostrar que para cualquier $m$ , $$\sum_0^m (k+1)^3 =\left(\sum_0^m (k+1)\right)^2.$$ Busca la fórmula para la suma del primer $q$ cubos.
