Demostrar o refutar una afirmación relativa a los números irracionales

Question

Intento demostrar la siguiente afirmación:

Sea $ 0\leq n \in \Bbb Z$ y supongamos que existe un $k \in \Bbb Z$ tal que $n=4k+3$ . Demostrar o refutar: $\sqrt n \notin \Bbb Q$ .

El problema que tengo es que intento asumir por contradicción que $\sqrt n \in \Bbb Q$ y luego digo que hay $a,b \in \Bbb Z$ tal que $n=\sqrt {4k+3}=\frac ab$ . Finalmente llego a un punto en el que $k=\frac {a^2-3b^2}{4b^2}$ . Sin embargo, no puedo encontrar ninguna $a,b \in \Bbb Z$ que me ayude a demostrar que la afirmación es falsa, ni mostrar una contradicción que haga que la afirmación sea cierta. Cualquier ayuda será bienvenida.

Answer 1

Declaración:

Sea $a,b,k\in\mathbb Z^{+}$ donde $\gcd (a,b)=1$ y si $4k+3=\frac{a^2}{b^2}$ entonces $b^2=1$ o $b=1$ .

Así tenemos,

$$\sqrt{4k+3}=a,\thinspace a\in\mathbb Z^{+}$$

y

$$k=\frac{a^2-4+1}{4}=\frac{a^2+1}{4}-1$$

Esto implica inmediatamente,

$$a=2m-1, \thinspace m\in\mathbb Z^{+}$$

Es decir,

$$\begin{align}a^2+1&=4(m^2-m)+2\not\equiv 0\thinspace\thinspace\thinspace\text{(mod 4)}.&\end{align}$$

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Conclusión:

Concluimos que, no existe $n=4k+3,\thinspace k\in\mathbb Z^{+}$ tal que $\sqrt n\in\mathbb Q^{+}$ .

Answer 2

El cuadrado de un número entero par es $4k$ el cuadrado de un número entero impar es $8k+1$ . $4k+3$ nunca es el cuadrado de un número entero, como tampoco lo es $4k+2$ ni $8k+5$ . Por tanto, la raíz cuadrada de $n$ no es un número entero.

Ahora tienes que recordar la conocida prueba de que la raíz cuadrada de 2 es irracional; esa prueba se puede adaptar para demostrar que la raíz cuadrada de cualquier número entero es un número entero o irracional.

Answer 3

Se da la circunstancia de que $n=4k+3$ así que creo que quieres decir que existen $a,b\in\Bbb{Z}$ tal que $$\sqrt{n}=\sqrt{4k+3}=\tfrac ab,$$ con la esperanza de llegar a una contradicción. En efecto, un poco de álgebra conduce entonces a $$k=\frac{a^2-3b^2}{4b^2},$$ lo que significa que $4b^2$ debe dividir $a^2-3b^2$ porque $k$ es un número entero. En particular $4$ debe dividir $a^2-3b^2$ . Esto implica que $a$ y $b$ son ambas pares [¡demuéstralo!], digamos que $a=2A$ y $b=2B$ . Introduciendo estos datos se obtiene $$k=\frac{(2A)^2-3(2B)^2}{4(2B)^2}=\frac{4A^2-12B^2}{16B^2}=\frac{A^2-3B^2}{4B^2},$$ y así por el mismo argumento $A$ y $B$ vuelven a ser pares. ¿Puedes ver la contradicción desde aquí?

Answer 4

Tenga en cuenta el if $q$ es racional pero no integral, entonces $q^2$ tampoco será integral. Por tanto, sólo hay que demostrar que $n$ no es una potencia de un número entero.

Tenga en cuenta que si $m=2l$ entonces $m^2=4l^2$ si $m=4l+1$ entonces $m^2=16l^2+4l+1$ y si $m=4l+3$ entonces $m^2 = 16l^2+12l + 8 +1$ . Por lo tanto, para cualquier $m$ tenemos que $m^2$ es de la forma $4r$ o de la forma $4r+1$ .

En otras palabras: Modulo $4$ tenemos $0^2=0,1^2=1,2^2=0,3^2=1$ .

Así que cualquier número de la forma $4k+3$ no es el cuadrado de un entero.

Answer 5

$\sqrt n=\sqrt{4k+3}$ es una solución de la ecuación $$x^2 -(4k+3)=0$$

Ahora por Teorema de los ceros racionales $\biggr($ Que establece que : $x=p/q$ es un Número Racional que satisface la ecuación polinómica $\sum_{r=0}^n a_rx^r $ entonces $q(\neq0)|a_n$ y $p|a_0$ y gcd(p,q)=1 $\biggr)$ las únicas raíces racionales de la ecuación son $±1,±(4k+3),±n|(4k+3) \forall k\in \Bbb Z^+$ donde $n \in \Bbb Z^+$ . Pero $\sqrt{4k+3}$ no es ninguno de ellos . Así que $\sqrt n=\sqrt{4k+3}$ es irracional.