Demuestra que x = y si $x | y^2$ y $y^2 | x^3$ y $x^3 | y^4$ ...

Question

Por lo tanto, estoy teniendo problemas para hacer este cierto problema. Como el título sugiere que debo probar que si esto se sostiene:

$$x | y^2 $$ $$y^2 | x^3$$ $$x^3 | y^4$$ $$...$$

Que para cada natural x e y, x es igual a y. He intentado escribir los números x e y en forma de:

$$x = p_1^{\alpha_1} + p_2^{\alpha_2} + ... + a_n^{\alpha_n}$$ $$y = P_1^{\beta_1} + p_2^{\beta_2} + ... + p_n^{\beta_n}$$

Ahora cuando intento expresar las ecuaciones dadas de esta forma obtengo:

$$x \le y^2 \le x^3 \le y^4$$ Que para cada $i$ rendimientos:

$$\alpha_i \le 2\beta_i \le 3\alpha_i \le 4\beta_i ...$$

Ahora me preguntaba qué hacer a continuación para probarlo. Gracias.

Answer 1

Basta con demostrar $\nu_p(x) = \nu_p(y)$ para todos los primos $p$ .

Tenemos lo siguiente $\nu_p$ información para cualquier prime $p$ y entero positivo $k$ ,

$(2k+1)\nu_p(x) \le (2k+2) \nu_p(y)$ y $(2k+2) \nu_p(y) \le (2k+3)\nu_p(x)$ .

Lo que implica $\frac{2k+1}{2k+2}\nu_p(x)\leq \nu_p(y)\leq \frac{2k+3}{2k+2}\nu_p(x)$ .

Esto implica $|\nu_p(x) - \nu_p(y)|$ es $0$ y así $\nu_p(x) = \nu_p(y)$ como desee.