¿Es toda norma en R^n una función continua?

Question

¿Es toda norma en R^n una función continua?

Answer 1

Sí, porque en los espacios de dimensión finita todas las normas son topológicamente equivalentes.

Answer 2

Sí, y esto es cierto de forma más general (por la misma razón que John Cook) para normas sobre un espacio vectorial de dimensión finita sobre un campo completo con respecto a un valor absoluto. No funciona para espacios de dimensiones infinitas.

Answer 3

Estoy de acuerdo en que esto parece una pregunta de deberes, pero como algunos ya han picado, sólo me gustaría señalar lo que podría decirse para espacios de dimensión infinita. Supongamos que tenemos un espacio vectorial real o complejo infinito, dotado de una norma || . ||

¿Qué significa que una función en V sea continua? Bueno, hay que especificar una topología sobre V, y es natural utilizar la definida por la norma. Pero entonces es un corolario inmediato de la desigualdad triangular que la función norma es continua con respecto a la topología que define. (En cierto sentido, si esto no fuera cierto, no nos molestaríamos en estudiar los espacios vectoriales normados).

Sin embargo, V también podría llevar alguna topología más débil (como una topología w* inducida por algún predual) y entonces la norma no será en general continua con respecto a esa topología.

(Observación tonta: equipa a R^n con la topología indiscreta, es decir, la que sólo tiene dos miembros. Entonces la norma habitual no es continua. Por supuesto, es una topología ridícula para poner en el espacio. Tengo la sensación de que toda topología de Hausdorff sobre R^n para la que las traslaciones y dilataciones son continuas, es equivalente a la habitual, pero necesitaría comprobarlo en algo como el libro de Rudin para estar seguro).

Answer 4

La respuesta es "sí".

La explicación depende de lo que se entienda por "continuo". Acordemos que "la norma || || es continua" significa "si (x_n) es una secuencia de vectores tal que las coordenadas x_n convergen a las coordenadas de algún vector x, entonces ||x_n|| converge a ||x||".

Sea e_1, ..., e_n la base estándar de R^n. Primero se demuestra que para cada i, la función t -> ||t*e_i|| es continua (t real). Entonces, después de escribir cada vector como a_1 * e_1 + ... + a_n * e_n, el resultado se deduce fácilmente de la desigualdad triangular.