Reference for "Basta con especificar una gavilla sobre una base"?

Question

El artículo de wikipedia sobre las poleas dice:

Puede demostrarse que para especificar una gavilla basta con especificar su restricción a los conjuntos abiertos de una base para la topología del espacio subyacente. Además, también puede demostrarse que basta con verificar los axiomas de gavilla anteriores relativos a los conjuntos abiertos de un recubrimiento. Así pues, a menudo se puede definir una gavilla dando sus valores en los conjuntos abiertos de una base y verificando los axiomas de la gavilla en relación con la base.

Sin embargo, no cita una referencia específica para esta afirmación. ¿Existe alguna prueba rigurosa de esta afirmación en la literatura?

Answer 1

Es una pregunta excelente y, a decir verdad, a menudo se trata con displicencia en la literatura. Es una lástima, porque se trata de un concepto fundamental de la geometría algebraica.

Por ejemplo, la gavilla estructural $\mathcal O_X$ de un esquema afín $X=Spec(A)$ se define diciendo que sobre un conjunto abierto básico $D(f)\subset X \;(f\in A)$ su valor es $\Gamma(D(f),\mathcal O_X)=A_f$ y, a continuación, basándose en el mecanismo de gavillas sobre una base, extenderlo a una gavilla sobre $X$ .
También se sigue el mismo procedimiento para definir la gavilla cuasi-coherente de módulos $\tilde M$ en $X$ asociado al $A$ -módulo $M$ .

Sin embargo, hay excepciones felices en la red, como la de Lucien Szpiro notas donde las poleas sobre una base de conjuntos abiertos se discuten en detalle en las páginas 14-16.
También puede encontrar un cuidadoso tratamiento en el Stack Project de De Jong y colaboradores , Capítulo 6 "Gavillas sobre espacios", sección 30, "Bases y gavillas"

Answer 2

Yo mismo me he preguntado esto recientemente y no he sido capaz de encontrar ninguna fuente para una afirmación general que implique $\mathcal{C}$ -valued sheaves. Estoy seguro de que simplemente no he buscado lo suficiente (no hago AG, por ejemplo), pero para que conste, voy a esbozar una prueba junto con algunas otras cosas que se pueden deducir. La comprobación de que la extensión es una gavilla es larga y sobre todo muy, muy tediosa comprobación de que todo conmuta realmente.

Se puede formular la noción de $\mathcal{C}$ -sobre una base $\mathscr{B}^{op}\subset \mathcal{O}(X)^{op}$ para cualquier categoría razonablemente completa $\mathcal{C}$ . La idea es exactamente la misma que con las láminas, basta con encontrar la expresión flecha-teórica de los axiomas de conjunto. Haciendo esto, se tiene esta formulación:

Una gavilla $\mathcal{F}$ sobre una base $\mathscr{B}$ se dice que es un gavilla en $\mathscr{B}$ si se cumple lo siguiente. Dada cualquier cobertura $(U_{i})_{i\in I}$ mediante conjuntos de bases $U_i$ de un conjunto de bases $U$ y para cada par $(i,j)\in I\times I$ una familia de coberturas $(U_{ij,k})_{k\in I_{(i,j)}}$ de la intersección $U_i\cap U_j$ el diagrama con los dos conjuntos de restricciones $\mathcal{F}(U_i)\to \mathcal{F}(U_{ijk})$ et $\mathcal{F}(U_i)\to \mathcal{F}(U_{jik})$ sustituyendo a los mapas que aparecen en la condición de igualación habitual para una gavilla es un igualador.

Dicho esto, esto es lo que creo que es cierto.

Sea $\mathcal{C}$ sea una categoría completa, $X$ un espacio y $\mathscr{B}^{op}\subset \mathcal{O}(X)^{op}$ una base para la topología. Sea $i\colon \mathscr{B}^{op}\hookrightarrow \mathcal{O}(X)^{op}$ sea la inclusión.

1. Existe un functor de restricción sobre (pre)sheaves $i^\ast\colon (P)Sh_{X}(\mathcal{C})\to (P)Sh_{\mathscr{B}}(\mathcal{C})$ .
   2. Si $\mathcal{F}$ es una gavilla en $X$ entonces $i^\ast \mathcal{F}=\mathcal{F}\circ i$ es una gavilla en $\mathscr{B}$ .
   3. Si $\mathcal{F}$ es una prehoja en $\mathscr B$ entonces existe una prehoja $\mathcal{F}^e\colon \mathcal{O}(X)^{op}\to\mathcal C$ definido por $\mathcal{F}^e(U)=\lim_{\mathscr{B} \ni B\subset U}\mathcal{F}(U)$ con los morfismos inducidos obvios, así como un isomorfismo natural $\mathcal{F}\mathop{\to}\limits^{\eta} \mathcal{F}^e\circ i$ .
   4. Si $\mathcal{F}$ es una prehoja en $\mathscr{B}$ entonces los datos $(\mathcal{F}^e,\eta)$ es terminal entre todas las demás extensiones de $\mathcal{F}$ a una prehoja en $X$ .
   5. Al tomar decisiones, $(-)^e$ se ensambla en un functor. Se deduce lo que hace en las flechas entendiendo $F^e\circ i\to G^e\circ i$ sea la única flecha $\varphi\colon F\to G$ encajando en los datos de $(F,\eta)$ , $(G,\tau)$ y el morfismo $f\colon F\to G$ como $i^\ast \varphi$ . Para cualquier otra opción, $(-)^e_2$ existe una iso natural $(-)^e\approx (-)^e_2$ .
   6. Si $\mathcal{F}$ es una gavilla en $\mathscr{B}$ entonces $\mathcal{F}^e$ es una gavilla en $X$ .
   7. Los functores $i^\ast$ et $(-)^e$ son adyacentes a la izquierda y a la derecha en preestructuras. La función adjunta se restringe a una equivalencia adjunta en gavillas $i^\ast_{Sh} : Sh_{X}(C)\cong Sh_{\mathscr{B}}(C) : (-)^e$ .

Esbozaré los puntos 2 y 6, ya que todo lo demás se deduce más o menos directamente de ellos.

2.

El ingrediente esencial es factorizar (para un determinado $U,U_i,U_{ijk}\in \mathscr{B}$ ) el diagrama de prueba de igualación para una gavilla en la base $\mathscr{B}$ como el diagrama de prueba de la gavilla para $U,U_i,U_i\cap U_j$ seguido de una flecha $\prod \mathcal{F}(U_i\cap U_j)\to \prod_{i,j} \prod_k \mathcal{F}(U_{ijk})$ . (Resulta que esta flecha será mónica, ya que $\mathcal{F}$ es una gavilla y $\mathcal{C}$ completa para que $\prod$ conmuta con ecualizadores).

6.

En realidad, mi relato es bastante delicado. La parte más difícil es hacer una reducción.

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Notación/Convenciones

Aquí recogeremos algunas anotaciones y algunos recordatorios/observaciones potencialmente útiles (?).

• Para facilitar la escritura, voy a dejar de escribir $\mathcal{C}$ y poner $C=\mathcal{C}$ . Además, voy a poner $F:=\mathcal{F}$ el functor sobre $\mathscr{B}$ y $F^e$ sea la extensión.

• Para cualquier conjunto abierto $U$ define $\mathscr{B}_U:=\{B\in \mathscr{B} : B\subset U\}$ e identificarlas como subcategorías de $\mathscr{B}$ .

• Voy a mezclar casualmente $\mathscr{B}$ et $\mathscr{B}^{op}$ para facilitar la escritura.

• Dado que estamos trabajando en el nivel de una sola gavilla en $\mathscr{B}$ es más fácil nocionalmente suponer (WLOG) que ${F}^e$ extiende ${F}$ -es decir, ${F}^e\circ i={F}$ . Si no asumimos esto, la notación se vuelve aún peor y no quiero ocuparme de ello.

• Para la presheaf $F^e$ las restricciones $F^e(U)\to F^e(V)$ son inducidas por las proyecciones asociadas a los conos $F^e(V)\to \left. F\right|\mathscr{B}_{V}$ . En particular, según nuestra hipótesis, si $U\notin \mathscr{B}$ , $B\in \mathscr{B}$ entonces la proyección $F^e(U)\to F(B)$ es precisamente la restricción.

• Denote $res$ las restricciones para $F$ et $res^e$ las restricciones para $F^e$ . Entonces $res^e_{UB}res_{BB'}=res^{e}_{UB'}$ .

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Dado $U,U_i,U_{i}\cap U_j$ , dejemos que $$\mathscr{B}_{I}=\{B\in \mathscr{B} : B\subset U_i \text{for some }i\in I\}\ldotp$$ Es evidente que $\mathscr{B}_I$ es una base para $U$ de las definiciones.

Consideremos el diagrama de prueba de la gavilla para $F^e$ de esta familia con flecha $f\colon c\to \prod_{i}F(U_i)$ . Un poco de reflexión muestra que si podemos demostrar que podemos producir el ascensor $\tilde{f}\colon c\to \mathcal{F}^e(U)$ si podemos demostrar $F^e(U)=\lim_{\mathscr{B}_{I}\ni B}F(B)$ .

Reclamación 1: Dado $F$ un presheaf en $\mathscr{B}$ , $U$ abierto, $V\subset U$ y $\mathscr{B}_0\subset\mathscr{B}$ una subcolección que forma una base para $U$ , $F^e(V)=\lim_{\mathscr{B}_0\ni B\subset V}F(B)$ .

Por ahora, asumamos la afirmación.

(Existencia)

Entonces tenemos $F^e(U)=\lim_{\mathscr{B}_{I}\ni B}F(B)$ . Por lo tanto, la opción obvia sería definir $\tilde{f}\colon c\to \lim_{\mathscr{B}_{I}\ni B}F(B)$ en componentes para que sean los componentes correspondientes de $f$ -esto inducirá la flecha deseada porque define un cono $c\to \left. F\right|\mathscr{B}_I$ como los componentes de $f$ ya eran un cono. Más precisamente, dejemos que $f_i$ sean los componentes de $f$ y que $f_{i,V}\colon c\to F(V)$ sean los componentes de $f_{i}$ induciéndola al límite. Dado que $f$ iguala el diagrama de prueba de la gavilla, se observa que:

• Para cualquier conjunto de bases $V\subset W$ en $\mathscr{B}_I$ , $res_{VW}f_{i,V}=f_{i,W}$ .
• Para $V\subset U_i\cap U_j$ , $f_{j,V}=f_{i,V}$ . Por lo tanto, siempre que $V\subset U_k$ , $f_{k,V}=f_{i,V}$ .
• Si $V\subset U_i$ et $V\nsubseteq U_j$ para cualquier otro $j$ entonces sólo hay una $i$ con componente $f_{i,V}$ .

Utilizando estas observaciones y la observación está claro que obtenemos un cono de $c\to \left. F\right|\mathscr{B}_I$ . Dado que la flecha hacia $\prod F(U_i)$ es la componente de las proyecciones $F^e(U)\to F(U_i)$ que son inducidas por las proyecciones canónicas $F^e(U)\to F(B)$ para $B\subset U_i$ el compuesto con $\tilde{f}$ en el $(i,B\subset U_i)$ -ésimo componente es $pr_{i,B}pr_{i}^e\circ \tilde{f}=f_{i,B}$ por definición. Esto demuestra la existencia.

(Singularidad)

Reclamación 2: En el supuesto de reivindicación 1 la unicidad es obvia. (Comprobar componentes, &c. &c.)

Esto demuestra que $F^e$ es una gavilla si suponemos reivindicación 1 .

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Prueba de la reivindicación 1 en el caso aplicable anterior

Suponemos que $V=U$ en este caso. Nótese que hay una flecha obvia $f\colon F^e(U)\to \lim_{\mathscr{B}_I\ni B\subset U}F(B)$ inducida por la proyección.

Observación: Estoy seguro de que es más resbaladizo para demostrar que $\lim_{\mathscr{B}_I\ni B\subset U}F(B)$ satisface la UP de $\lim_{\mathscr{B}\ni B\subset U}F(B)=F^e(U)$ . Pero como no es tan difícil construir un $\varphi_U$ a $f$ en los componentes, esta será nuestra estrategia

Cualquier conjunto de bases $V\in \mathscr{B}_{U}$ (N.B, $\mathscr{B}_U\supseteq \mathscr{B}_I$ ) pueden estar cubiertos por conjuntos en $\mathscr{B}_I$ y cualquier intersección de conjuntos de bases $B_1,B_2$ pueden cubrirse mediante conjuntos de bases en $\mathscr{B}_{I}$ . Desde $F$ es una gavilla en $\mathscr{B}$ , existe el diagrama de ecualización obvio que involucra a estos. Hacer esto para cada conjunto de bases $V\in \mathscr{B}_U$ . Esto nos da una familia de ecualizadores indexados sobre la pequeña categoría discreta de $\mathscr{B}_{U}$ . Desde $C$ está completo, podemos pegarlos en un ecualizador gigante (imagina que puedo dibujar un ecualizador)

$$\prod_{V\in \mathscr{B}_U}\mathcal{F}(V)\to\prod_{V\in \mathscr{B}_U}\prod_{\mathscr{B}_I\ni V_i\subset V}F(V_i)\to \prod_{V\in \mathscr{B}_U}\prod_{\mathscr{B}_I\ni V_{ijk}\subset V_i\cap V_j}F(V_{ijk})\ldotp$$

Esto se deduce por el argumento habitual de contigüidad, $\prod$ es adyacente a la derecha del functor diagonal y, por tanto, preserva/conmuta con los límites.

Sea $g_V\colon \lim_{\mathscr{B}_I\ni B\subset U}F(U)\to \prod_{\mathscr{B}\ni V_i\subset V}F(V_i)$ sean las proyecciones $pr_{V_i}$ . Entonces $res_{V_i,V_{ijk}}pr_{V_i}=res_{V_j,V_{ijk}}pr_{V_j}$ ya que las proyecciones fuera del límite son necesariamente un cono a $\left. F\right|\mathscr{B}_I$ . Haciendo esto para cada conjunto de bases $\mathscr{B}\ni V\subset U$ esto se ensambla en una flecha $$\lim_{\mathscr{B}_I\ni B\subset U}F(U)\to \prod_{V\in \mathscr{B}_U}\prod_{\mathscr{B}_I\ni V_i\subset V}F(V_i)$$ que se ecualiza en nuestro nuevo ecualizador (es decir, es componentwise $g_V$ y como el ecualizador en cuestión se ha obtenido por componentes, esto se deduce de lo que acabamos de decir). Llamémoslo $\varphi$ con componentes $\varphi_V$ . Defina $\varphi=f^{-1}$ en componentes como $f^{-1}_V=\varphi_V$ . Si nos dan $W\subset V\in \mathscr{B}_I$ entonces $res_{VW}\varphi_V=\varphi_W$ se deduce por la unicidad de la UP del ecualizador-la flecha $res_{VW}\varphi_V$ también encaja en el diagrama del ecualizador correspondiente a $W$ .

Obsérvese que la parte de unicidad anterior nos dice que siempre que $V\in\mathscr{B}_I$ , $\varphi_V=pr_V$ .

Para comprobar que $f \varphi=id$ Obsérvese que en los componentes $V\in\mathscr{B}_I$ Esto es $$pr_V f\varphi= (pr_V f)\varphi=res_{UV}^{e}\varphi=\varphi_V=pr_V,$$ lo que significa $f\varphi$ está en componentes sólo las proyecciones y por lo tanto debe ser la identidad. A la inversa, para $V\in\mathscr{B}$ , $$res_{UV}^e \varphi f=(res_{UV}^e \varphi) f=\varphi_V f\ldotp$$ Pero $\varphi_V f$ encaja en el ecualizador para $V$ donde $F^e(U)\to \prod_{\mathscr{B}_I\ni V_i\subset V} F(V_i)$ son las restricciones (es decir, las proyecciones). Por lo tanto, por unicidad, $\varphi_V f=res_{UV}^e$ . Por lo tanto, $\varphi f=id$ .

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Observación: Como he mencionado, estoy seguro de que hay una manera más fácil de hacer reivindicación 1 verificando propiedades universales. También se podría hacer un trabajo rápido demostrando la inclusión $\mathscr{B}_I^{op}\hookrightarrow \mathscr{B}^{op}_U$ es final de una manera diferente, tal vez mediante el uso de una caracterización de tales functors.

Answer 3

Aparece en la obra de Daniel Perrin Geometría algebraica Capítulo 3, Sección 2. Y, por cierto, es un buen texto introductorio para la geometría algebraica, que no cubre mucho la teoría de esquemas, pero da una definición de una variedad abstracta (utilizando poleas, como en el libro rojo de Mumford).

Añadido : Acabo de ver que Perrin deja la mayoría de los detalles al lector. Para otra prueba, véase la Observación 2.6/Lema 2.7 en la obra de Qing Liu Geometría algebraica y curvas aritméticas .

Answer 4

Esto se demuestra en el CAA de Serres, capítulo 1, sección 1, subsección 4.

Su definición de una gavilla es lo que actualmente se denomina un espacio etale y una pregavilla moderna es lo que Serre denomina un sistema, luego una gavilla moderna es un sistema que satisface las proposiciones 1 y 2. Sin embargo, las categorías de gavillas sobre X y de espacios etale sobre X son equivalentes.

Edita: Originalmente dije subsección 3, pero es subsección 4.

Answer 5

Me gustaría añadir mi propia referencia y estrategia: Siegfried Bosch Geometría algebraica y álgebra conmutativa tiene un debate bastante desarrollado sobre la construcción $\mathcal{O}_X$ la gavilla estructural de un esquema $X$ (véase el teorema 3 y el Lemma 4 de la sección 6.6, p.242). Sin embargo, sólo hay una prueba para una base $\mathcal{B}$ estable bajo intersección, así que luché durante un tiempo con esto. Sólo ahora comprendo plenamente las ideas que hay detrás de la página del Proyecto Stacks sobre el asunto . Me gustaría mostrar aquí cómo utilizarlo al máximo.

Así que vamos a arreglar la notación una vez más:

• $X$ es un espacio topológico y $\mathcal B$ es una base para su topología.
• Para cualquier $U\in\mathcal B,~\,\rm{Cov}_{\mathcal B}(U)$ es el conjunto de coberturas $\mathcal{U}=(U_i)_{i\in I}$ de $U$ abriendo desde la base $U_i\in\mathcal B$ .
• Para todas las aperturas $U\in\mathcal B$ set $C(U)\subset\rm{Cov}_{\mathcal B}(U)$ un sistema cofinal de coberturas para la relación de refinamiento: para cualquier cobertura $\mathcal U=(U_i)_{i\in I}\in\rm{Cov}_{\mathcal B}(U)$ hay una cobertura $\mathcal V=(V_j)_{j\in J}$ en $C(U)$ que refina $\mathcal U$ , es decir existe un mapa $\alpha:J\longrightarrow I$ tal que $\forall j\in J,\,V_j\subseteq U_{\alpha(j)}$ .
• Por cada $\mathcal U=(U_i)_{i\in I}\in C(U)$ y cada $i,i'\in I$ arreglar de una vez por todas una cobertura $\mathcal U_{i,i'}=(U_{i,i',k})_{k\in I_{i,i'}}$ de la intersección $U_i\cap U_{i'}$ .

Recordemos ahora el declaración relativa a las láminas sobre bases y refinamientos :

Sea $\mathcal F$ sea una prehoja dada sobre $\mathcal B$ . Entonces $\mathcal F$ es un $\mathcal B$ -si para cualquier $U\in\mathcal B$ y cualquier $\mathcal U=(U_i)_{i\in I}\in C(U)$ se cumple lo siguiente:

$(**)$ Para cualquier colección de secciones $s_i\in\mathcal F(U_i),i\in I$ tal que $\forall i,i'\in I$ $$s_i|_{U_{i,i',k}} = s_{i'}|_{U_{i,i',k}}$$ existe una única sección $s \in \mathcal{F}(U)$ tal que $s_ i = s|_{U_ i}$ para todos $i\in I$ .

Así que hay mucho que desentrañar en esto, pero la idea principal que quiero señalar es que casi hemos terminado. Si conseguimos definir un pre -sheaf $\overline{\mathcal F}$ que amplía un $\mathcal B$ -sheaf $\mathcal F$ entonces hemos terminado. De hecho, podemos elegir nuestro conjunto de aperturas $\rm{O}(X)$ de $X$ para formar una base para su propia topología, además definimos, para cualquier abierto $U\subset X$ (!), $$C(U):=\rm{Cov}_\mathcal B(U)\subset\rm{Cov}_{\rm{O}(X)}(U)$$ y fijar los recubrimientos de los solapamientos $\mathcal U_{i,i'}$ (que puede reducirse a un conjunto abierto simple si la base es estable bajo intersección). Para demostrar la cofinalidad, basta con utilizar el hecho de que cualquier abierto está cubierto por abiertos en $\mathcal B$ : tomar cualquier cobertura $(U_i)_i$ de $U$ y cubrir cada $U_i$ por abre en $\mathcal B$ . Aplicando el resultado anterior vemos que $\overline{\mathcal F}$ es necesariamente una gavilla.

Para encontrar una extensión de la prehoja $\overline{\mathcal F}$ podemos utilizar la definición clásica de Hartshorne utilizando la espace étalé pero prefiero utilizar la construcción más formal: $$\overline{\mathcal F}(U):=\lim_{V\in\mathcal B,V\subset U}\mathcal F(U).$$ De hecho, para cualquier $U\in\mathcal B$ los mapas de proyección $$\overline{\mathcal F}(U)\longrightarrow\mathcal F(U)$$ forman un isomorfismo natural.