Estoy estudiando la ecuación de Dirac para partículas libres y he leído que el espín no conmuta con el hamiltoniano y hay que definir el operador de helicidad para encontrar un tercer número cuántico bueno. ¿Qué significado físico tiene eso?
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Johan K. Jensen
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El Hamiltoniano de Dirac para partículas libres no conmuta con el $z$ componente del operador de espín $\hat S_z$ pero conmuta con el operador de helicidad $\hat h=S⋅p$ . Esto significa que se puede conocer simultáneamente la energía y la helicidad de una partícula.
El hamiltoniano no conmuta con $\hat S_z$ así que no es lo mismo.
Para más información sobre los números cuánticos buenos y por qué se llaman "buenos", pulse aquí . Observará que:
Los sistemas que pueden etiquetarse con buenos números cuánticos son en realidad estados propios del Hamiltoniano. También se denominan estados estacionarios. Se llaman así porque el sistema permanece en el mismo estado a medida que transcurre el tiempo, en todos los sentidos observables.
Nota al margen: Helicidad puede considerarse el número cuántico más fundamental para las partículas sin masa, ya que distingue entre las dos representaciones no equivalentes del Grupo de Poincaré .
En general, no hay ninguna razón para que el espín se conserve (es decir, un buen número cuántico) si no es la única forma de momento angular en un sistema. Total momento angular ( $\mathbf{J}$ ), que consta de orbitales ( $\mathbf{L} = \mathbf{r} \times \mathbf{p}$ ) más el espín ( $\mathbf{S}$ ), se conserva (lo que corresponde a la invariancia de rotación).
Ocurre que la ecuación de Schrödinger (el límite no relativista) para una partícula con espín conserva el momento angular orbital y de espín por separado, porque el espín aparece como un número cuántico independiente desacoplado del movimiento. Sin embargo, la ecuación de Dirac acopla el espín con el movimiento a través de la función $\gamma$ matrices.
La helicidad se conserva manifiestamente cuando se escribe como $\mathbf{p} \cdot \mathbf{J}$ lo que equivale a $\mathbf{p} \cdot \mathbf{S}$ porque $\mathbf{L}$ es siempre ortogonal a $\mathbf{p}$ . (¿Por qué utilizar helicidad y no $J_z$ ? En $J_z$ se conserva, no conmuta con $\mathbf{p}$ . Nos gustaría utilizar los estados propios de $\mathbf{p}$ es decir, ondas planas).
