Sea $S_0 = x \in [0,N]$ sea el valor inicial del paseo aleatorio. Dado que $M_n := S_n+(1-2p)n$ es una martingala, el teorema de parada opcional muestra que el proceso detenido
$$N_n := S_{n \wedge T} + (1-2p) (n \wedge T)$$
es una martingala; en particular $\mathbb{E}(N_n) = \mathbb{E}(N_0)= x$ es decir
$$\mathbb{E}(S_{n \wedge T}) = (2p-1) \mathbb{E}(n \wedge T)+x.$$
Desde $(S_n)_{n \in \mathbb{N}}$ es un simple paseo aleatorio, tenemos $|S_{n \wedge T}| \leq N$ para todos $n \in \mathbb{N}$ . Utilizando el teorema de convergencia dominada (DCT) y de convergencia monótona (MCT) encontramos
$$\mathbb{E}(S_T) \stackrel{\text{DCT}}{=} \lim_{n \to \infty} \mathbb{E}(S_{n \wedge T}) = x + (2p-1) \lim_{n \to \infty} \mathbb{E}(n \wedge T) \stackrel{\text{MCT}}{=} x+(2p-1)\mathbb{E}(T). \tag{1}$$
Queda por calcular $\mathbb{E}(S_T)$ . Un cálculo sencillo muestra que el proceso
$$Y_n := r^{S_n}$$
es para $r:=(1-p)/p$ una martingala. Utilizando exactamente el mismo razonamiento que el anterior (es decir, parada opcional para $n \wedge T$ y convergencia dominada/monótona) encontramos que $\mathbb{E}(Y_T) = \mathbb{E}(Y_0)=r^x$ . Desde $$S_T = 0 \cdot 1_{\{S_T=0\}} + N \cdot 1_{\{S_T=N\}} \tag{2}$$ obtenemos
$$\begin{align*} r^x = \mathbb{E}(Y_T) = \mathbb{E}(r^{S_T}) &= r^0 \mathbb{P}(S_T=0) + r^N \mathbb{P}(S_T=N)\\ &= (1-\mathbb{P}(S_T=N)) + r^N \mathbb{P}(S_T=N). \end{align*} $$
Así,
$$\mathbb{P}(S_T=N) = \frac{r^x-1}{r^N-1}. \tag{3}$$
Por otra parte, enchufar $(2)$ en $(1)$ muestra
$$N \mathbb{P}(S_T=N) = x+ (2p-1) \mathbb{E}(T)$$
y así, por $(3)$ ,
$$\begin{align*} \mathbb{E}(T) &= \frac{1}{2p-1} (N \mathbb{P}(S_T=N)-x) \\ &= \frac{1}{2p-1} \left( N \frac{r^x-1}{r^N-1} -x \right).\end{align*}$$
Desde $r=(1-p)/p$ esto puede expresarse fácilmente en términos de $p$ y $N$ .
Observación: Para la segunda parte de mi respuesta, es decir, el cálculo de $\mathbb{E}(S_T)$ es crucial que $p \neq 1/2$ (lo que equivale a decir $r \neq 1$ ).
