Hay una manera fácil de demostrar una versión más simple de la regla de L'Hospital: Si $f(b)=g(b)=0$ y $g'(b) \neq 0$ entonces (f y g son funciones reales diferenciables una vez)
$$\lim_{x \to b} \frac{f(x)}{g(x)} = \lim_{x \to b} \frac{f(b) + f'(b)(x-b) + \varphi(x-b)}{g(b) + g'(b)(x-b) + \psi(x-b)}$$
donde $\lim_{x \to 0} \frac{\varphi(x)}{x}=0$ y $\lim_{x \to 0} \frac{\psi(x)}{x}=0$ por lo que expandiendo la fracción anterior por $1/(x-b)$ y utilizando $f(b)=g(b)=0$ obtenemos
$$\lim_{x \to b} \frac{f(x)}{g(x)} = \lim_{x \to b} \frac{f'(b) + \frac{\varphi(x-b)}{x-b}}{g'(b)+\frac{\psi(x-b)}{x-b}}= \frac{f'(b)}{g'(b)}.$$
Por desgracia, esta prueba necesita $g'(b) \neq 0$ mientras que la regla de L'Hospital sólo necesita que $\lim_{x \to b} \frac{f'(x)}{g'(x)}$ existe. ¿Alguien ve cómo remediar la prueba anterior para demostrar que L'Hospital es real? Esta prueba estaría muy bien, porque prácticamente sólo utiliza la definición (o una posible definición) de la diferencial.
