La prueba de la fórmula $z = |z|e^{i \phi}$

Question

Me gustaría probarlo: $$z = |z|\big(\cos(\phi) + i \sin(\phi)\big)$$ Por supuesto, la segunda parte puede demostrarse mediante la fórmula de Euler. Por eso me gustaría demostrarlo: $$z = |z|e^{i \phi}$$ Sólo puedo utilizar la definición de serie de exp y algunas propiedades básicas como $e^{a+b} = e^ae^b$ .
Creo que debe ser bastante trivial, pero realmente no sé cómo hacerlo correctamente.

Creo que mi problema es un poco diferente al del post sugerido. Sé cómo probar que $e^{i\phi} = \cos \phi + i\sin \phi$ pero no sé cómo demostrarlo $$\forall_{z \in \mathbb{C}} z = |z|\exp(ix)$$ para algunos $x \in \mathbb{R}$ .

Answer 1

No sé si esto es lo que quieres, pero siempre puedes pruebe Fórmula de Euler: $$\begin{align}e^{x+yi}&=e^xe^{yi}\\&=e^x\left(1+yi+\frac{(yi)^2}{2!}+\frac{(yi)^3}{3!}+\cdots\right)\\&=e^x\left(\left(1-\frac{y^2}{2!}+\frac{y^4}{4!}-\cdots\right)+\left(y-\frac{y^3}{3!}+\frac{y^5}{5!}-\cdots\right)i\right)\\&=e^x\bigl(\cos(y)+\sin(y)i\bigr).\end{align}$$

Answer 2

Cada $z\in\mathbb{C}$ puede escribirse como $$z=x+iy$$ con $x,y\in\mathbb{R}$ . Por definición $|z|:=\sqrt{x^2+y^2}$ . Si $\theta$ es el ángulo que forma el vector $(x,y)$ hace con el eje horizontal (el eje real) en la dirección positiva entonces $x=|z|\cos\theta$ y $y=|z|\sin\theta$ . Por lo tanto $$z=x+iy=|z|\cos\theta+i|z|\sin\theta=|z|(\cos\theta+i\sin\theta)=|z|e^{i\theta}$$ donde la última igualdad se deduce de la identidad de Euler $$e^{i\theta}=\cos\theta+i\sin\theta$$

Answer 3

Si

$z \ne 0, \tag 1$

entonces

$\left \vert \dfrac{z}{\vert z \vert} \right \vert = \dfrac{\vert z \vert}{\vert z \vert} = 1; \tag 2$

así

$\dfrac{z}{\vert z \vert} \in S^1, \tag 3$

el círculo unitario en $\Bbb C$ por lo tanto, podemos siempre encontrar $\phi \in \Bbb R$ con

$\dfrac{z}{\vert z \vert} = \cos \phi + i \sin \phi; \tag 4$

queda por demostrar que

$\cos \phi + i \sin \phi = e^{i \phi}; \tag 5$

pero esto puede hacerse fácilmente ampliando $e^{i \phi}$ en una serie de potencias

$e^{i\phi} = \displaystyle \sum_0^\infty \dfrac{(i\phi)^n}{n!}, \tag 6$

y separando las partes real e imaginaria, como se muestra en este artículo de wikipedia así como por José Carlos Santos en su respuesta. Entonces (4) se convierte en

$\dfrac{z}{\vert z \vert} = \cos \phi + i \sin \phi = e^{i\phi}, \tag 7$

o

$z = \vert z \vert e^{i\phi}. \tag 8$

Nota Añadido en Editar, martes 3 de abril de 2018 10:34 horas PST: Esto en respuesta al comentario a esta respuesta hecho por nuestro OP Hendrra. La forma más fácil de ver que

$z \in S^1 \Longrightarrow \exists \phi \in \Bbb R, \; z = \cos \phi + i \sin \phi, \tag 9$

es vía geometría simple y trigonometría. Desde $z$ es un punto del círculo unitario, existe un segmento de recta radial entre el origen $O$ y $z$ , $\overline{Oz}$ la longitud de este segmento es $1$ ya que $S^1$ es el "círculo unitario". Entonces $\phi$ sea el ángulo entre el positivo $x$ -y el segmento $\overline{Oz}$ ; el $x$ -coordenada del punto $z$ es entonces la parte real de $z$ considerado como número complejo :

$\Re(z) = \vert \overline{Oz} \vert \cos \phi = \cos \phi, \tag{10}$

desde $\vert \overline{Oz} \vert = 1$ ; asimismo el $y$ -coordenada es

$\Im(z) = \sin \phi; \tag{11}$

así

$z = \Re(z) + i\Im(z) = \cos \phi + i \sin \phi. \tag{12}$

Fin de la nota.