Acerca de $\max |\sum_{n=0}^{n=\infty} a_n x^n - \sum_{n=0}^{n=N} a_n x^n| \to 0$ ( $N \to \infty$ )

Question

Estoy leyendo "Introducción al análisis vol.1" de Sin Hitotumatu.

El autor escribe el siguiente corolario:

Corolario:
Una serie de potencias con radio de convergencia positivo es continua en el círculo de convergencia.

A continuación, escribe el siguiente hecho sin prueba como observación.

L $\rho$ sea el radio del círculo de convergencia de $\sum_{n=0}^{n=\infty} a_n x^n$ .
Sea $f(x) := \sum_{n=0}^{n=\infty} a_n x^n$ .
Sea $f_N(x) := \sum_{n=0}^{n=N} a_n x^n$ .
Sea $\alpha$ sea un número real tal que $0 < \alpha < \rho$ .
Entonces $\max_{x \in [-\alpha, \alpha]} |f(x) - f_N(x)| \to 0$ ( $N \to \infty$ ).

Supongo que este hecho se deduce fácilmente del corolario anterior.
Por favor, dime la prueba.

Answer 1

El corolario se deduce del hecho -- que es un teorema bien conocido para series de potencias.

El "hecho" nos dice que la serie de potencias converge uniformemente en el intervalo compacto $[-\alpha, \alpha]$ dentro del intervalo de convergencia $(-\rho,\rho)$ . La afirmación final sobre el límite implica que para cualquier $\epsilon> 0$ existe $M(\epsilon) \in \mathbb{N}$ tal que para todo $N > M(\epsilon)$ y para todos $x \in [-\alpha,\alpha]$ tenemos

$$|f(x) - f_N(x)| \leqslant \max_{x \in [-\alpha,\alpha]}|f_n(x) - f(x)| < \epsilon$$

Para proceder, o bien se invoca un conocido teorema que afirma directamente que $f$ debe ser continua en cualquier punto $c \in [-\alpha, \alpha]$ o demostrarlo directamente de la siguiente manera.

En $x,c \in [-\alpha,\alpha]$ tenemos

$$\tag{*}|f(x) - f(c) | \leqslant \left|f(x) - \sum_{k=0}^na_kx^k\right|+ \left| \sum_{k=0}^na_kx^k- \sum_{k=0}^na_kc^k \right|+\left|f(c) - \sum_{k=0}^na_kc^k\right|$$

Por convergencia uniforme de la serie de potencias para cualquier $\epsilon > 0$ existe $n > M(\epsilon/3)$ tal que para cualquier $x,c \in [-\alpha, \alpha]$ los términos primero y tercero del lado derecho de (*) son cada uno menor que $\epsilon/3$ .

Por lo tanto,

$$|f(x) - f(c) | \leqslant \frac{2\epsilon}{3} + \underbrace{\left| \sum_{k=0}^n a_kx^k- \sum_{k=0}^na_kc^k \right|}_{|P_n(x) - P_n(c)|}$$

Con $n$ fijó el polinomio $P_n(x)= \sum_{k=0}^na_kx^k$ es continua en todas partes, y en $c$ en particular. Por lo tanto, existe $\delta(\epsilon,c) > 0$ tal que si $|x-c| < \delta(\epsilon,c)$ entonces $|P_n(x) - P_n(c)|< \epsilon/3$

Así, si $|x-c| < \delta(\epsilon,c)$ entonces $|f(x) - f(c)| < \epsilon$ y $f$ es continua en cualquier $c \in [-\alpha,\alpha]$ .