La transformación conforme especial mapea línea y círculo a línea y círculo

Question

Quiero mostrar que una transformación conforme especial mapea línea y círculo a línea y círculo y encontrar un ejemplo de que mapea línea a círculo. La afirmación parece muy cierta a partir de la imagen de la página wiki .

Mi pensamiento es de aquí $$x'^\mu = \frac{x^\mu-b^\mu x^2}{1-2b\cdot x+b^2x^2}$$ Derivo $$z'=\frac{z}{1+\bar b z}$$ Y esto parece ser un elemento de $\text{PSL}(2,\mathbb{C})$ . Y luego quiero decir un elemento de $\text{PSL}(2,\mathbb{C})$ mapea línea y círculo a línea y círculo (cosa que tampoco sé demostrar).

Otra forma que probé es empezar con una ecuación lineal, por ejemplo $x^2 = kx^1 + b$ y transformarla bajo la ley de transformación, e intentar simplificarla a una ecuación circular, pero queda muy mal.

Answer 1

Poco después de formular la pregunta encuentro una solución sencilla.

En primer lugar, la página wiki en la pregunta, la SCT puede ser pensado como una composición de una inversión, una traducción, y una inversión. Está claro que la traslación conserva la línea y el círculo. Así que sólo tenemos que mostrar la línea y el círculo va a la línea y el círculo en virtud de la inversión.

A continuación, escribimos la ecuación del círculo en forma compleja: $$A z \bar z + B z + \bar B \bar z + C = 0$$ donde $A, C\in \mathbb{R}$ .

Aviso cuando $A=0$ esto es una línea.

Ahora es trivial demostrar bajo $z\rightarrow\frac{1}{z}$ esta ecuación se transforma en $$C z \bar z + \bar B z + B \bar z + A = 0$$ que es la misma forma que antes.

Por lo tanto, mostramos que un círculo o una línea se corresponden con un círculo o una línea bajo inversión, es decir, bajo SCT.