Divisores de hiperplanos: trabajando en un ejemplo.

Question

Estoy trabajando en el problema H de la sección I del capítulo V del libro de Miranda. El problema dice

L $X$ sea la curva plana proyectiva suave definida por $y^2z=x^3-xz^2$ . Calcular los divisores de intersección de las rectas $x=0$ , $y=0$ y $z=0$ con $X$ .

A grandes rasgos, tomemos por ejemplo la intersección con $y=0$ : $$ \begin{cases} y^2z=x^3-xz^2 \\ x=0 \end{cases} \quad \Longrightarrow \quad x(x^2-z^2)=0 \quad \Longrightarrow x=0, x=\pm z $$ para que me den los puntos $p_1=[0:0:1]$ , $p_2=[1:0:1]$ y $p_3=[1:0:-1]$ . Así que espero conseguir $$div(y)=p_1+p_2+p_3$$ y funciona en este caso: Tomo por $p_1$ el polinomio homogéneo de grado 1 $H=z$ Así que $H(p_1)\ne 0$ y puedo calcular $$div(y)(p_1)=ord_{p_1}(x/z)=ord_{p_1}(x)-ord_{p_1}(z)=1-0=1.$$ Repito el cálculo también para $p_2$ y $p_3$ y todo está bien.

El problema surge con $x=0$ : $$\begin{cases} y^2z=x^3-xz^2 \\ x=0 \end{cases} \quad \Longrightarrow y^2z=0 $$ así que tengo $p_1=[0:0:1]$ (contados dos veces, como en la imagen real afín) y $p_2=[0:1:0]$ . Así que espero que mi divisor sea de la forma $$div(x)=2p_1+p_2.$$ Como antes, tomo $H=z$ así que $H(p_1)\ne 0$ y calcular utilizando la definición: $$div(x)(p_1)=ord_{p_1}(x/z)=1.$$ ¿En qué me equivoco? Esto me vuelve loco.

Answer 1

Acabo de resolver este problema (creo) y para la posteridad pensé en publicar más información aquí. Escribamos $F(x,y,z)=y^2z-x^3+xz^2$ para que $X=\mathcal{Z}(F).$ Entonces $$ \frac{\partial F}{\partial x}(x,y,z)=-3x^2+z^2,\:\:\:\:\:\frac{\partial F}{\partial y}(x,y,z)=2yz,\:\:\:\:\:\frac{\partial F}{\partial z}(x,y,z)=y^2+2xz.$$ Estudiemos primero el caso de $y=0$ . Es fácil ver que la ecuación resultante es $-x^3+xz^2=0$ de donde $x=0$ o $x^2=z^2$ Así que $x=\pm z$ . Entonces, las soluciones son $$p_1=[0:0:1],\:\:\:\:\: p_2=[1:0:1],\:\:\:\:\:\: p_3=[1:0:-1].$$ Comenzamos con $p_1$ . Podemos ver que nuestros parámetros complejos son $(\frac{x}{z},\frac{y}{z})\in \mathbb{C}^2$ . Además, $\partial_x(F)(p_1)=1$ y $\partial_y(F)(p_1)=0$ para que $\frac{y}{z}$ es la coordenada local en $X$ en $p_1$ por el Teorema de la Función Implícita. En cuanto al cálculo del divisor del hiperplano, estudia la función meromorfa $\frac{y}{z}$ . Aplicación de la transformación de coordenadas, $y\mapsto \frac{y}{z}$ y $z\mapsto 1$ por lo que en coordenadas locales en $X$ tenemos que nuestra función meromorfa $\frac{y}{z}$ es $\frac{y}{z}$ en el parámetro local $\frac{y}{z}$ . Por lo tanto, el orden aquí es $1$ . Podemos aplicar el mismo razonamiento para $p_2, p_3$ y obtenemos que $$ \operatorname{div}(y=0)=1\cdot p_1+1\cdot p_2+1\cdot p_3.$$ En el caso de $x=0$ . Si tenemos $x=0$ entonces nos queda $y^2z=0$ de modo que los puntos de intersección sean $[0:0:1]=p_1$ y $[0:1:0]=p_4$ . Examinemos $p_1$ . $\partial_x(F)(p_1)=1$ y $\partial_y(F)(p_4)=0$ . Así que, de nuevo $\frac{y}{z}$ es el parámetro local. Estudiar la función meromorfa en $\mathbb{P}^2$ dada por $\frac{x}{z}$ . $$ \frac{x}{z}=\frac{x}{\frac{x^3-xz^2}{y^2}}=\frac{y^2x}{x^3-xz^2}=\frac{y^2}{z^2}\cdot \frac{1}{\frac{x^2}{z^2}-1}.$$ Por el Teorema de la Función Implícita, para una función holomorfa que desaparece en $0$ podemos escribir $\frac{x}{z}=h(\frac{y}{z})$ Así que $$ \frac{x}{z}=\frac{y^2}{z^2}\cdot \frac{1}{h(\frac{y}{z})^2-1}$$ tiene un cero de orden $2$ . Otro cálculo rutinario muestra que a $p_4$ $\frac{x}{y}$ tiene un cero simple. Entonces, $$ \operatorname{div}(x=0)=2\cdot p_1+1\cdot p_4.$$ Por último, consideramos el caso $z=0$ . Entonces tenemos una ecuación $x^3=0$ Así que $x=0$ . Por lo tanto, el único punto de intersección de $X$ con el hiperplano $z=0$ es $p_4=[0:1:0]$ . $\partial_x(F)(p_4)=0$ y $\partial_z(F)(p_4)=1$ para que el parámetro local sea $\frac{x}{y}$ . Escriba a $g(\frac{x}{y})=\frac{z}{y}$ para $g$ holomórfica y evanescente en $0$ . Consideremos ahora la función meromorfa $\frac{z}{y}$ . $$ \frac{z}{y}=\frac{x^3-xz^2}{y^3}=\frac{x^3}{y^3}-\frac{xz^2}{y^3}=\left(\frac{x}{y}\right)^3-\frac{x}{y}\cdot \left[g\left(\frac{x}{y}\right)\right]^2.$$ Por el teorema de la función implícita, sabemos (escribiendo $\widetilde{x}=\frac{x}{y}$ y $\widetilde{z}=\frac{z}{y}$ ) que $$ \frac{\partial g}{\partial \widetilde{x}}(0)=-\frac{\partial_{\widetilde{x}}(f)}{\partial_{\widetilde{z}}(f)}(0,0)=0.$$ Así que.., $[g(\widetilde{x})]^2$ desaparece al menos en el orden $4$ . Por lo tanto, $\operatorname{ord}_0(\frac{z}{y})=3.$ Así, $$ \operatorname{div}(z=0)=3\cdot p_4.$$ Nótese, por supuesto, que esto ejemplifica el resultado de que el divisor de intersección de un grado $d$ curva plana proyectiva con una línea en $\mathbb{P}^2$ tiene divisor de intersección de grado $3$ . Por último, nótese que este enfoque utiliza el hecho de que $X$ es recortado por $F(x,y,z)$ .