Estoy autoaprendiendo el libro Análisis II de Tao [ 1 ], y nos detuvimos en el siguiente problema (8.2.4): Para cada $n=1,2,3...$ deje $ f_n : \mathbb{R} \rightarrow \mathbb{R}$ sea la función $ f_n(x) = \chi(x)_{[n,n+1)} - \chi(x)_{[n+1, n+2)}$ donde $\chi()$ denota la función indicadora, es decir, $f_n(x) = 1, \forall x \in [n,n+1)$ , $f_n(x) = -1, \forall x \in [n+1,n+2)$ y cero en caso contrario. Demuestre que $$ \int_{\mathbb{R}}\sum_{n=1}^{\infty}f_n(x) \neq \sum_{n=1}^{\infty}\int_{\mathbb{R}}f_n(x)$$
Mis intentos:
(1) ya que $f_n(x)$ no es no negativo, entonces las integrales y las sumas no se pueden intercambiar. Punto (?)
(2) Definición $f(x) = \sum_{n=1}^{\infty}f_n(x)$ entonces $\int_{\mathbb{R}}f(x) = sup \{\int_{\mathbb{R}}s\}$ para $s$ siendo una función simple que minoriza $f(x)$ . Desde $f(x) \in \{-1,0,1\} \forall x$ y $\int_{\mathbb{R}}s = \sum_{n=1}^{\infty}a_nm([n,n+1)-b_nm([n+1,n+2))$ donde $m()$ es la medida de Lebesgue. Sice $\lim_{n \rightarrow \infty}f_n(x) = 0$ en el punto límite la medida es cero. El resultado es $\int_{\mathbb{R}}s = \sum_{n=1}^{\infty}(-1)^n$ por lo que la integral no es convergente. Por otro lado, $\int_{\mathbb{R}}f_n(x) = 0$ para todos $n=1,2..$ Por lo tanto $\sum_{n=1}^{\infty}\int_{\mathbb{R}}f_n(x)=0$ .
¿Tienen sentido estos intentos? ¿He cometido algún error? Gracias por todas las posibles pistas/explicaciones.
