Norma cruzada razonable sobre el producto tensorial de álgebras de Banach construido a partir de representaciones isométricas no degeneradas

Question

Lo que sigue es una abstracción de un problema más específico con el que he estado lidiando, así que puede que dé alguna información extra innecesaria. (La hipótesis de "identidades identidades izquierdas' probablemente no es necesario, pero es definitivamente el caso en el problema específico que esta pregunta se abstrae de).

Sea $A$ y $B$ sean álgebras de Banach, ambas con identidades izquierdas aproximadas acotadas izquierda acotadas. Suponemos que tenemos no degenerada, isométrico representaciones $\pi:A\to B(X)$ y $\rho:B\to B(Y)$ en algún Banach de Banach $X$ y $Y$ .

Podemos definir la siguiente representación algebraica $$ \pi\otimes\rho:A\otimes B\to B(X\hat{\otimes}Y) $$ (donde $X\hat{\otimes}Y$ denota el producto tensorial proyectivo) en de la forma habitual, para todo $a\in A$ , $b\in B$ , $x\in X$ y $y\in Y$ , por $$ \left(\pi\otimes\rho(a\otimes b)\right)x\otimes y:=\pi(a)x\otimes\rho(b)y. $$ Ahora bien, puesto que $\pi$ y $\rho$ se suponían isométricas, podemos demostrar que el mapa $\pi\otimes\rho$ es inyectiva y satisface $$ ||\pi\otimes\rho(a\otimes b)||_{op} = ||a||_A ||b||_B $$ para todos los tensores elementales $a\otimes b\in A\otimes B$ donde el en el lado izquierdo denota el operador norma sobre $B(X\hat{\otimes}Y)$ .

Mi pregunta es la siguiente: ¿El mapa $$ \sum_{i}a_{i}\otimes b_{i}\mapsto\left\Vert \pi\otimes\rho\left(\sum_{i}a_{i}\otimes b_{i}\right)\right\Vert _{\mbox{op}} $$ definir una norma cruzada razonable sobre $A\otimes B$ (Libro de Ryan, cap. 6)? Viendo que está dominada por la norma tensorial proyectiva sobre $A\otimes B$ es fácil, pero ¿está acotada desde abajo por la norma tensorial inyectiva en $A\otimes B$ ?

Obsérvese que podemos extender los funcionales acotados sobre $A$ a funciones acotadas en $B(X)$ utilizando Hahn Banach y que las representaciones son isométricas; análogamente con $B$ . Aún así, usando esto, una prueba todavía parece fuera de a falta de poder extender los funcionales sobre $B(X)\hat{\otimes}B(Y)$ a funcionales en $B(X\hat{\otimes}Y)$ porque las normas sobre estas álgebras no pueden relacionarse favorablemente (norma proyectiva en una, norma del operador en la otra).

Cualquier idea, referencia útil o contraejemplo que muestre cómo podría fallar será muy apreciado.

Answer 1

Sea $D_A\subseteq A^*$ sean las funcionales de la forma $\mu(\pi(\cdot)x)$ para $x\in X, \mu\in X^*, \|x\|\leq 1, \|\mu\|\leq 1$ . En $\pi$ es una isometría, Hahn-Banach demuestra que el casco convexo de $X$ es débil $^*$ -densa en la bola cerrada de $A^*$ , digamos $A^*_{[1]}$ .

Del mismo modo para $D_B$ utilizando $\rho$ . Está claro (*) que

$$ |(\mu_A\otimes\mu_B)\tau| \leq \| (\pi\otimes\rho)(\tau) \|_{op} \qquad (\tau\in A\otimes B, \mu_A\in D_A, \mu_B\in D_B). $$ Sin embargo, esta desigualdad se mantiene tomando combinaciones convexas de los elementos de $D_A$ y $D_B$ y tomando débil $^*$ -cerramientos. Pero eso demostraría entonces que $$ |(\mu_A\otimes\mu_B)\tau| \leq \| (\pi\otimes\rho)(\tau) \|_{op} \qquad (\tau\in A\otimes B, \mu_A\in A^*_{[1]}, \mu_B\in B^*_{[1]}), $$ y eso es todo lo que necesitas mostrar, creo?

¿Por qué (*) ¿Verdad? Dado $x\in X,\mu\in X^*,y\in Y,\lambda\in Y^*$ tenemos que $x\otimes y\in X\widehat\otimes Y$ de norma $\|x\|\|y\|$ y también $\mu\otimes\lambda \in (X\widehat\otimes Y)^*$ (esto es $w\otimes z\mapsto \mu(w)\lambda(z)$ ) tiene norma $\|\mu\| \|\lambda\|$ . Entonces $(\mu_A\otimes\mu_B)\tau = (\mu\otimes\lambda)((\pi\otimes\rho)(\tau)(x\otimes y))$ . En realidad, esto demuestra que el resultado seguiría siendo cierto si se sustituyera la norma tensorial proyectiva sobre $X\otimes Y$ sea cualquier norma cruzada razonable.