$\lim_{x \to 1} \frac{1}{x+2} = 1/3$ con $\varepsilon$ - $\delta$ definición?

Question

Estoy intentando utilizar el $\varepsilon$ - $\delta$ definición de límite para demostrar que $$ \lim_{x \to 1} \frac{1}{x+2} = 1/3. $$

Pero me estoy atascando en la búsqueda de la correcta $\delta$ . Aquí está mi intento:

\begin{align*} \lvert f(x) - L \rvert < \varepsilon \\ \lvert \frac{1}{x+2} - \frac{1}{3} \rvert < \varepsilon \\ \lvert \frac{x -1}{2 + x} \rvert < 3\varepsilon. \end{align*}

Y entonces no sé muy bien qué hacer. ¿Cómo proceder a partir de aquí?

Answer 1

Hasta ahora has deducido una cadena de equivalencias, y yo añadiré una más a la cadena: \begin{align*} & \lvert f(x) - L \rvert < \varepsilon \\ \iff & \lvert \frac{1}{x+2} - \frac{1}{3} \rvert < \varepsilon \\ \iff & \lvert \frac{x -1}{2 + x} \rvert < 3\varepsilon \\ \iff & \lvert x-1 \rvert < 3 \, \epsilon \, \lvert 2+x \rvert \end{align*} Leyendo esta cadena de equivalencias hacia atrás, has demostrado hasta ahora que $$\lvert x-1 \rvert < 3 \, \epsilon \, \lvert 2+x \rvert \implies \lvert f(x) - L \rvert < \varepsilon $$

Su objetivo ahora es encontrar un valor de $\delta>0$ tal que $$ \lvert x-1 \rvert < \delta \implies \lvert x-1 \rvert < 3 \, \epsilon \, \lvert 2+x \rvert $$ porque entonces habrás terminado.

El primer paso para encontrar $\delta$ es trabajar con el factor $\lvert 2+x \rvert$ por separado. Su objetivo en este paso es encontrar cualquier límite inferior a ese factor. Intuitivamente, si $x$ está cerca de $1$ entonces debe estar lejos de $-2$ . Para hacer rigurosa esta intuición, obsérvese que $$\lvert x-1 \rvert < 1 \implies -1 < x-1 < +1 \implies 2 < x+2 < 4 \implies 2 < \lvert x+2 \rvert $$ En resumen, hemos encontrado $\delta_1 = 1$ para las que se cumplen las siguientes implicaciones: $$\lvert x-1 \rvert < \delta_1 \implies \lvert x-1 \rvert < 1 \implies 2 < \lvert 2+x \rvert \implies 6 \epsilon < 3 \epsilon \lvert 2+x \rvert $$ Ahora fijamos $\delta_2 = 6 \epsilon$ .

Asumiendo ya que $\lvert x-1 \rvert < \delta_1 = 1$ si además suponemos que $\lvert x-1 \rvert < \delta_2 = 6 \epsilon$ se deduce que $$\lvert x-1 \rvert < \delta_2 = 6 \epsilon < 3 \epsilon \lvert 2+x \rvert $$ Y ahora hemos encontrado $\delta$ a saber: $$\delta = \min\{\delta_1,\delta_2\} $$ Poniendo esto en conjunto, suponiendo que $\lvert x-1 \rvert < \delta$ se deduce que $\lvert x-1 \rvert < \delta_1 = 1$ y $\lvert x-1 \rvert < \delta_2 = 6 \epsilon$ y por lo tanto $$\lvert x-1| < 3 \epsilon \lvert x+2 \rvert $$ Esto, como ya hemos demostrado, implica que $\lvert f(x)-L \rvert < \epsilon$ .

Answer 2

Sea $x=1+\delta$ . Entonces tenemos:

$$\lim_\limits{\delta\to0} \left|\frac{1}{3+\delta}-\frac{1}{3}\right|$$

$$=\lim_\limits{\delta\to0} \left|\frac{\delta}{3+\delta}\right|$$

Dejar $\delta=\epsilon$ significa que para cualquier $0<\epsilon<1$ la expresión en el límite es menor que $\epsilon$ según sea necesario.

Answer 3

La última desigualdad debería ser $|\frac {x-1} {2+x}| <3\epsilon$ . Utilice el hecho de que $|2+x|=|3+(x-1)| \geq 3-|x-1|$ . Lo que necesita ahora es $\frac {|x-1|} {3-|x-1|} <3\epsilon$ . Multiplique en cruz y obtendrá la desigualdad de la forma $|x-1| <\delta$ donde $\delta=\frac {9\epsilon} {1+3\epsilon}$ .

Answer 4

En primer lugar debe haber $\left|\frac{1}{x+2} - \frac{1}{3}\right| = \left|\frac{x -1}{2 + x}\right|\cdot \frac{1}{3}$

Después de esto, otra forma posible es elegir tal vecindad de $x=1$ en el que $|2+x|$ se puede estimar a partir de abajo. Por ejemplo, cuando $\delta \lt 1$ entonces $|2+x| = 2+x \gt 1$ . Ahora tenemos $\left|\frac{x -1}{2 + x}\right| \lt |x-1|\lt \delta $ . ¿Eres capaz de terminar desde aquí, teniendo en cuenta el factor $\frac{1}{3}$ ?

Answer 5

Como la función es monótona en torno a $x=1$ (siempre que $\delta<3$ ), puede resolver

$$\frac1{1+\delta+2}-\frac13=\pm\epsilon$$

que da

$$\delta=\mp\frac{9\epsilon}{1\pm3\epsilon}.$$

A continuación, toma el menor de los dos valores absolutos,

$$\delta=\frac{9\epsilon}{1+3\epsilon},$$ que es el más ajustado posible.

Abajo, $\epsilon=\dfrac1{10}$ y $\delta=\dfrac9{13}$ .