¿Puede dar una explicación sencilla e intuitiva (imagine que está hablando con un escolar) de por qué matemáticamente hablando el momento es covector? ¿Y por qué no debes asociar en tu cabeza masa (escalar) por velocidad (vectorial) y momento (covector)?
Ya había respuestas a esta pregunta, pero todas se basaban en una definición bastante abstracta de lagrangiano (difícil de explicar a un escolar). ¿Hay alguna motivación en primer lugar?
Supongamos que ejerces una fuerza ${\bf F}$ en una partícula de masa $m$ para moverlo a lo largo de un camino $\gamma$ . El trabajo necesario para ello es $$W = \int_\gamma {\bf F} \cdot d{\bf x} = \int_\gamma \frac{d{\bf p}}{dt} \cdot d{\bf x} = \frac{d}{dt} \int_\gamma {\bf p} \cdot d{\bf x}$$ (ya que la ruta $\gamma$ y por lo tanto $d{\bf x}$ no cambia con el tiempo).
Ahora el trabajo realizado es un escalar; claramente no depende de tu elección de coordenadas espaciales. Uno no se siente el doble de cansado después de ejercer la misma fuerza sobre el mismo sistema físico descrito utilizando diferentes coordenadas. (Más cuantitativamente, si utilizas un motor para empujar la masa, puedes medir el trabajo realizado por el motor viendo cuánta energía se ha agotado de su batería. Evidentemente, la batería no "sabe" qué sistema de coordenadas has utilizado). Y la derivada temporal y la integral de línea tampoco dependen claramente de la elección de las coordenadas espaciales. Por lo tanto, el producto punto ${\bf p} \cdot d{\bf x}$ también debe ser independiente de las coordenadas. Así que si cambias las coordenadas de tal manera que los valores numéricos de los componentes de $d{\bf x}$ doble, entonces los valores numéricos de los componentes del momento ${\bf p}$ debe reducirse a la mitad para compensar. Así pues, la posición y el momento se transforman opuestamente bajo transformaciones de coordenadas (como vector contravector y covector, respectivamente).
Si no te gusta la integral o la derivada temporal en esa explicación, puedes observar alternativamente que la potencia instantánea $P = {\bf F} \cdot {\bf v}$ que aplicas a la masa es un escalar por la misma razón, así que la fuerza (la derivada temporal del momento) y la velocidad (la derivada temporal de la posición) deben transformarse opuestamente bajo transformaciones de coordenadas.
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