Hallar el límite de una sucesión dada

Question

Hallar el límite de la sucesión $(x_n)_{n \geq 0}$ con $x_0 = 1$ y $x_{n + 1} = x_n + \ln{(x_n^2 + 1)}$ , $\forall n \geq 0$ .

Todo lo que sé es que $(x_n)$ está aumentando. Encontré esto calculando $x_{n + 1} - x_n = \ln{(x_n^2 + 1)}$ que es mayor que $0$ .

Ahora, todo lo que necesito es encontrar un límite superior para $(x_n)$ y entonces puedo calcular fácilmente su límite. Pero no sé cómo encontrarlo.

Gracias de antemano.

Answer 1

Con tu valor inicial actual, no hay límite superior. Puesto que tenemos $x_{n} \geq x_0=1$ para todos $n$ . Si $x_n$ está acotada por encima, entonces $\lim_{n\to\infty} x_n = x \geq x_0 = 1$ existe y $x = x + \ln(x^2+1)$ así que $x^2 = 0$ es decir.., $x=0$ que contradice $x \geq 1.$

Puesto que el límite, si existe debe ser $0$ y $x_n$ aumenta sólo podemos esperar convergencia si $x_0 \leq 0.$

Así que considera si tuvieras $ -1 < x_0 < 0 $ en lugar de $x_0 =1$ . Entonces todavía tendríamos $x_{n+1} \geq x_n$ y puesto que $\ln(1+x^2) \leq x^2$ para todos $x$ . también tendríamos $x_{n+1} \leq x_n + x_n^2 = x_n ( x_n + 1).$ Tenga en cuenta que si $-1 \leq x_n \leq 0$ entonces $x_{n+1} \geq x_n \geq -1$ y $x_{n+1} \leq x_n ( 1 + x_n) \leq 0$ por lo que se deduce inductivamente que $ -1 \leq x_n \leq 0$ para todos $n$ . Y de esto se deduce que $\lim_{n\to\infty} x_n = 0.$