$$\lim_{n\to\infty} \int_{-\infty}^{\infty} e^{-x^{2n}} dx$$
Esta pregunta es la duodécima pregunta de las eliminatorias del MIT Integration Bee 2019.
¿Puede alguien proporcionar una solución completa a este problema?
La respuesta es 2.
Respuesta
¿Demasiados anuncios?
Observación. Basándome en los comentarios a tu pregunta, marcaré gran parte de mi respuesta como spoiler para que puedas averiguarlo por ti mismo.
Pista. Utilizar el Teorema de Convergencia Dominada de Lebesgue
Solución completa.
Sea $-1<x<1$ . Entonces $$\lim_{n\to\infty} x^{2n}=0$$ para que $$\lim_{n\to\infty} \exp(-x^{2n})=1.$$ Además, cuando $x<-1$ o $1<x$ , $x^{2n}$ va a $\infty$ para que $$\lim_{n\to\infty} \exp(-x^{2n})=0.$$ De ello se deduce que $$\lim_{n\to\infty} \exp(-x^{2n})=\begin{cases}1,&-1<x<1\\0,&x<-1\text{ or }1<x\end{cases}.$$ Dado que todas las integradas están uniformemente acotadas por $$\begin{cases}1,&-1\le x\le 1\\\exp(-x^2), &x<-1\text{ or }1<x\end{cases},$$ que es incluso una función de Schwartz, tenemos por Lebesgue que $$\lim_{n\to\infty} \int_{-\infty}^{\infty} e^{-x^{2n}} \,\mathrm dx=\int_{-1}^11\,\mathrm dx=2.$$
