Demuestra la condición para que un sistema de ecuaciones lineales sea resoluble

Question

Es evidente que si el sistema de ecuaciones lineales

$$ \left\{ \begin{array}{c} x_1-x_3=c_1 \\ x_2-x_1=c_2 \\ x_3-x_2=c_3 \end{array} \right. $$

tiene solución, entonces tenemos $c_1+c_2+c_3=0$ .

¿Cómo podríamos demostrar el sentido contrario? Es decir, ¿cómo podríamos demostrar que si $c_1+c_2+c_3=0$ , entonces ¿el sistema de ecuaciones lineales anterior debe poder resolverse sin casos extremos?

Answer 1

La forma aumentada de nuestro sistema es $$ \left[\begin{array}{rrr|r} 1 & 0 & -1 & c_{1} \\ -1 & 1 & 0 & c_{2} \\ 0 & -1 & 1 & c_{3} \end{array}\right] $$ La reducción de filas da \begin{align*} \left[\begin{array}{rrr|r} 1 & 0 & -1 & c_{1} \\ -1 & 1 & 0 & c_{2} \\ 0 & -1 & 1 & c_{3} \end{array} \right] \xrightarrow{R_2+R_1\to R_2}\left[ \begin{array}{rrr|r} 1 & 0 & -1 & c_{1} \\ 0 & 1 & -1 & c_{1} + c_{2} \\ 0 & -1 & 1 & c_{3} \end{array} \right] \\ \xrightarrow{R_3+R_2\to R_3}\left[ \begin{array}{rrr|r} \fbox{1} & 0 & -1 & c_{1} \\ 0 & \fbox{1} & -1 & c_{1} + c_{2} \\ 0 & 0 & 0 & \fbox{$c_{1} + c_{2} + c_{3}$} \end{array} \right] \end{align*} Se garantiza que las dos primeras posiciones en recuadro son pivotes en la forma reducida de nuestro sistema. La tercera posición es un pivote si y sólo si $c_1+c_2+c_3\neq 0$ . Esta tercera posición está en la columna aumentada, por lo que nuestro sistema es resoluble si y sólo si $c_1+c_2+c_3=0$ .