Demostrar que $\text{Fr}(A\cup B) = \text{Fr}(A) \cup \text{Fr}(B)$ si $\overline{A}\cap\overline{B}=\emptyset$ .

Question

Necesito probar que $$\text{Fr}(A\cup B) = \text{Fr}(A) \cup \text{Fr}(B)$$ si $\overline{A}\cap\overline{B}=\emptyset$ .

He podido demostrar la inclusión de izquierda a derecha ( $\subseteq$ ). Pero ¿qué pasa con la otra inclusión ( $\supseteq$ )? mi intento : $$\text{Fr}(A\cup B) \cup \text{Fr}(A\cap B)= \text{Fr}(A) \cup \text{Fr}(B).$$ Así que si $\overline{A}\cap\overline{B}=\emptyset$ implica que $A\cap B= \emptyset$ y puesto que $\text{Fr}(\emptyset)=\emptyset$ concluimos. ¿Es esto correcto?

Answer 1

Tu prueba es correcta si asumes verdadera (sin prueba)) tu fórmula. Me refiero a un enfoque similar en esta bonita respuesta . Observa que con tu último planteamiento estás demostrando la igualdad inmediatamente: ni siquiera necesitarías la primera inclusión.

He aquí otro enfoque (un poco más general): Para la última implicación, ni siquiera es necesario preguntar $\overline{A} \cap \overline{B} = \emptyset$ . Si $\overline{A} \cap B = \emptyset = A \cap \overline{B}$ el resultado se mantiene.

Ya has demostrado que $\partial ( A \cup B ) \subseteq \partial A \cup \partial B$ .

Para demostrar lo contrario (por contradicción) supongamos que $x \notin \partial ( A \cup B )$ . Entonces se pueden distinguir dos posibilidades:

1. O bien $x \notin \overline{ A \cup B } = \overline{A} \cup \overline{B}$ . En este caso resulta fácil que $x \notin \partial A \cup \partial B$ .
2. Por lo demás, $x \notin \overline{ X \setminus ( A \cup B ) }$ . Entonces, por definición $x \in X \setminus \overline{ X \setminus ( A \cup B ) } = \mathrm{Int} ( A \cup B )$ . Sin pérdida de generalidad, supongamos que $x \in A$ y puesto que $A\cap \overline B=\emptyset$ entonces $x\in X\setminus\overline B$ lo que implica que $x\notin \partial (B)$ . Además, puede demostrarse que $U = \mathrm{Int} ( A \cup B ) \setminus \overline{B}$ es una vecindad de $x$ que figura en $A$ y así $x \notin \partial A$ . Así que concluye que $x \notin \partial A \cup \partial B$ .