Tu prueba es correcta si asumes verdadera (sin prueba)) tu fórmula. Me refiero a un enfoque similar en esta bonita respuesta . Observa que con tu último planteamiento estás demostrando la igualdad inmediatamente: ni siquiera necesitarías la primera inclusión.
He aquí otro enfoque (un poco más general): Para la última implicación, ni siquiera es necesario preguntar ¯A∩¯B=∅¯¯¯¯A∩¯¯¯¯B=∅ . Si ¯A∩B=∅=A∩¯B¯¯¯¯A∩B=∅=A∩¯¯¯¯B el resultado se mantiene.
Ya has demostrado que ∂(A∪B)⊆∂A∪∂B∂(A∪B)⊆∂A∪∂B .
Para demostrar lo contrario (por contradicción) supongamos que x∉∂(A∪B)x∉∂(A∪B) . Entonces se pueden distinguir dos posibilidades:
- O bien x∉¯A∪B=¯A∪¯Bx∉¯¯¯¯¯¯¯¯¯¯¯¯¯¯A∪B=¯¯¯¯A∪¯¯¯¯B . En este caso resulta fácil que x∉∂A∪∂Bx∉∂A∪∂B .
- Por lo demás, x∉¯X∖(A∪B)x∉¯¯¯¯¯¯¯¯¯¯¯¯¯¯¯¯¯¯¯¯¯¯¯¯¯¯¯¯X∖(A∪B) . Entonces, por definición x∈X∖¯X∖(A∪B)=Int(A∪B)x∈X∖¯¯¯¯¯¯¯¯¯¯¯¯¯¯¯¯¯¯¯¯¯¯¯¯¯¯¯¯X∖(A∪B)=Int(A∪B) . Sin pérdida de generalidad, supongamos que x∈Ax∈A y puesto que A∩¯B=∅A∩¯¯¯¯B=∅ entonces x∈X∖¯Bx∈X∖¯¯¯¯B lo que implica que x∉∂(B)x∉∂(B) . Además, puede demostrarse que U=Int(A∪B)∖¯BU=Int(A∪B)∖¯¯¯¯B es una vecindad de xx que figura en AA y así x∉∂Ax∉∂A . Así que concluye que x∉∂A∪∂Bx∉∂A∪∂B .