Tu prueba es correcta si asumes verdadera (sin prueba)) tu fórmula. Me refiero a un enfoque similar en esta bonita respuesta . Observa que con tu último planteamiento estás demostrando la igualdad inmediatamente: ni siquiera necesitarías la primera inclusión.
He aquí otro enfoque (un poco más general): Para la última implicación, ni siquiera es necesario preguntar $\overline{A} \cap \overline{B} = \emptyset$ . Si $\overline{A} \cap B = \emptyset = A \cap \overline{B}$ el resultado se mantiene.
Ya has demostrado que $\partial ( A \cup B ) \subseteq \partial A \cup \partial B$ .
Para demostrar lo contrario (por contradicción) supongamos que $x \notin \partial ( A \cup B )$ . Entonces se pueden distinguir dos posibilidades:
- O bien $x \notin \overline{ A \cup B } = \overline{A} \cup \overline{B}$ . En este caso resulta fácil que $x \notin \partial A \cup \partial B$ .
- Por lo demás, $x \notin \overline{ X \setminus ( A \cup B ) }$ . Entonces, por definición $x \in X \setminus \overline{ X \setminus ( A \cup B ) } = \mathrm{Int} ( A \cup B )$ . Sin pérdida de generalidad, supongamos que $x \in A$ y puesto que $A\cap \overline B=\emptyset$ entonces $x\in X\setminus\overline B$ lo que implica que $x\notin \partial (B)$ . Además, puede demostrarse que $U = \mathrm{Int} ( A \cup B ) \setminus \overline{B}$ es una vecindad de $x$ que figura en $A$ y así $x \notin \partial A$ . Así que concluye que $x \notin \partial A \cup \partial B$ .
