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Demostrar que Fr(AB)=Fr(A)Fr(B)Fr(AB)=Fr(A)Fr(B) si ¯A¯B=¯¯¯¯A¯¯¯¯B= .

Necesito probar que Fr(AB)=Fr(A)Fr(B)Fr(AB)=Fr(A)Fr(B) si ¯A¯B=¯¯¯¯A¯¯¯¯B= .

He podido demostrar la inclusión de izquierda a derecha ( ). Pero ¿qué pasa con la otra inclusión ( )? mi intento : Fr(AB)Fr(AB)=Fr(A)Fr(B).Fr(AB)Fr(AB)=Fr(A)Fr(B). Así que si ¯A¯B=¯¯¯¯A¯¯¯¯B= implica que AB=AB= y puesto que Fr()=Fr()= concluimos. ¿Es esto correcto?

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Ero Sennin Puntos 554

Tu prueba es correcta si asumes verdadera (sin prueba)) tu fórmula. Me refiero a un enfoque similar en esta bonita respuesta . Observa que con tu último planteamiento estás demostrando la igualdad inmediatamente: ni siquiera necesitarías la primera inclusión.

He aquí otro enfoque (un poco más general): Para la última implicación, ni siquiera es necesario preguntar ¯A¯B=¯¯¯¯A¯¯¯¯B= . Si ¯AB==A¯B¯¯¯¯AB==A¯¯¯¯B el resultado se mantiene.

Ya has demostrado que (AB)AB(AB)AB .

Para demostrar lo contrario (por contradicción) supongamos que x(AB)x(AB) . Entonces se pueden distinguir dos posibilidades:

  1. O bien x¯AB=¯A¯Bx¯¯¯¯¯¯¯¯¯¯¯¯¯¯AB=¯¯¯¯A¯¯¯¯B . En este caso resulta fácil que xABxAB .
  2. Por lo demás, x¯X(AB)x¯¯¯¯¯¯¯¯¯¯¯¯¯¯¯¯¯¯¯¯¯¯¯¯¯¯¯¯X(AB) . Entonces, por definición xX¯X(AB)=Int(AB)xX¯¯¯¯¯¯¯¯¯¯¯¯¯¯¯¯¯¯¯¯¯¯¯¯¯¯¯¯X(AB)=Int(AB) . Sin pérdida de generalidad, supongamos que xAxA y puesto que A¯B=A¯¯¯¯B= entonces xX¯BxX¯¯¯¯B lo que implica que x(B)x(B) . Además, puede demostrarse que U=Int(AB)¯BU=Int(AB)¯¯¯¯B es una vecindad de xx que figura en AA y así xAxA . Así que concluye que xABxAB .

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